حل معادلات الاعتدال في الحساب المودولو (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:

لحل المعادلة $8x + 1 \equiv 5 \pmod{12}$، نبحث عن $x$ حيث $x \equiv a \pmod{m}$، حيث $m \geq X$ و $0 \leq a < m$. نريد إيجاد قيمة $a + m$.

الحل:

نبدأ بحل المعادلة $8x + 1 \equiv 5 \pmod{12}$.

أولاً، نقوم بطرح واحد من كلا الجانبين للمعادلة:
$8x \equiv 4 \pmod{12}$

الآن، نقوم بتبسيط الجانب الأيسر من المعادلة عن طريق قسمة كل مصطلح على القسمة:
$8x \equiv 4 \pmod{12} \implies 2x \equiv 1 \pmod{3}$

الآن، لحل $2x \equiv 1 \pmod{3}$، نبحث عن $x$ حيث $x \equiv a \pmod{m}$، حيث $m \geq X$ و $0 \leq a < m$.

نبدأ بإيجاد قيمة $x$.
لحل $2x \equiv 1 \pmod{3}$، نقوم بإيجاد القيم التي تجعل $2x$ تساوي $1$ زائد ضربة متعددة من $3$.
القيم الممكنة ل $x$ هي $1$ و $4$.
نلاحظ أنه عندما تكون $x=1$، فإن $2x=2$، ولكننا بحاجة لقيمة تكون متساوية مع $1$ في النظام $\pmod{3}$، لذا نختار $x=4$.
إذاً، $x=4$.

الآن، نعرف قيمة $x$، ونريد إيجاد $a$ و $m$ لتكون $x \equiv a \pmod{m}$.

نحسب $a$:
$a = 4$

والآن نحسب $m$، وهو المقامر الصغير للمعادلة الأصغر من $X$:
$m = 3$

إذاً، لدينا $a = 4$ و $m = 3$.

الآن، نجمع $a$ و $m$ للحصول على الجواب:
$a + m = 4 + 3 = 7$

إذاً، القيمة المطلوبة للمتغير $X$ هي $7$.

لحل المعادلة $8x + 1 \equiv 5 \pmod{12}$، سنستخدم عدة خطوات وقوانين في الجبر الخطي وحساب المودولو للوصول إلى الحل الصحيح. القوانين المستخدمة تشمل:

1. قانون تبسيط العمليات في الحساب المودولو.
2. استخدام العلاقات الجبرية للتعامل مع المتغيرات في العمليات المودولو.
3. استخدام قاعدة القسمة والضرب في حسابات المودولو.
4. تطبيق قانون النظام المتكافئ لحل المعادلات المودولو.

الآن، دعونا نتابع الحل بالتفصيل:

1. نبدأ بالمعادلة الأصلية: $8x + 1 \equiv 5 \pmod{12}$.

2. نبدأ بطرح واحد من كلا الجانبين للمعادلة لتبسيط العملية: $8x \equiv 4 \pmod{12}$.

3. نحاول الآن تبسيط العملية بالتخلص من الأعداد الكبيرة. نعرف أن $8 \equiv 2 \pmod{12}$، لذا يمكننا استبدال $8$ بـ $2$ للحصول على:
   $2x \equiv 4 \pmod{12}$

4. الآن، نرغب في حل المعادلة $2x \equiv 4 \pmod{12}$. نستخدم قاعدة القسمة للقسمة على كلا الجانبين بـ $2$:
   $x \equiv 2 \pmod{6}$

5. الآن، يمكننا أن نرى أن $x$ يجب أن يكون عدداً زوجياً، وذلك لأن $x \equiv 2 \pmod{6}$، وكل الأعداد الزوجية تنتهي بـ $0$ أو $2$ أو $4$ أو $6$، ولكن نظراً لأننا نبحث عن الحل الأصغر، فإننا نختار $x = 2$.

6. بعد ذلك، نحتاج إلى تحديد الحد الأدنى للمودولو، وهو الذي يظهر بمقدار $6$، فنحدد أن $m = 6$.

7. الآن، بما أننا قد حددنا $x = 2$ و $m = 6$، فإننا نقوم بإضافة القيم معاً: $a + m = 2 + 6 = 8$.

بهذا، وباستخدام القوانين المذكورة أعلاه، نصل إلى الحل النهائي، الذي يكون $X = 8$.