حل معادلات الأس والتوسيع: دليل الرياضيات (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية هي: “احسب قيمة $n$ إذا كان $8^n \times 8^n \times 8^n = 64^3$.”

لنقم بتحويل المعادلة إلى صورة تسهل الحساب:

$8^n \times 8^n \times 8^n = 64^3$

نعلم أن $8 = 2^3$ و $64 = 2^6$، لذا يمكننا كتابة $64^3$ على النحو التالي:

$64^3 = (2^6)^3 = 2^{6 \times 3} = 2^{18}$

الآن، بالنظر إلى المعادلة الأصلية، نستطيع تحويلها كالتالي:

$8^n \times 8^n \times 8^n = 2^{3n} \times 2^{3n} \times 2^{3n} = 2^{3n + 3n + 3n} = 2^{9n}$

وبما أن $64^3 = 2^{18}$، فإن المعادلة تصبح:

$2^{9n} = 2^{18}$

الآن، نستطيع مقارنة الأسس:

$9n = 18$

لحل المعادلة وإيجاد قيمة $n$، نقسم الطرفين على 9:

$n = \frac{18}{9} = 2$

إذاً، القيمة المطلوبة لـ $n$ هي 2.

لحل المسألة الرياضية $8^n \times 8^n \times 8^n = 64^3$، يمكننا استخدام عدة خطوات وقوانين حسابية.

1. تحويل الأسس إلى قوى: نستخدم قانون التوسيع للأسس لتحويل القوة الأولى إلى قوة مضاعفة. في هذه المسألة، نستخدم $8 = 2^3$ و $64 = 2^6$.

2. قانون حساب الأسس: عند ضرب الأسس مع نفس القاعدة، نجمع الأسس. في هذه المسألة، يجب علينا جمع الأسس في الجهة اليمنى من المعادلة.

3. تساوي الأسس: عندما تكون الأسس متساوية، فإن القوى التي ترمز لها الأسس أيضًا متساوية.

الآن، دعنا نقوم بتحليل المسألة بالتفصيل:

نبدأ بتحويل القيم المعروفة إلى قوى:

$8^n \times 8^n \times 8^n = (2^3)^n \times (2^3)^n \times (2^3)^n$

تطبيق قانون التوسيع للأسس:

$= 2^{3n} \times 2^{3n} \times 2^{3n}$

الآن، نطبق قانون حساب الأسس بجمع الأسس:

$= 2^{3n + 3n + 3n}$

$= 2^{9n}$

الآن، نقارن الأسين في الجهتين اليمنى واليسرى من المعادلة:

$2^{9n} = 2^{18}$

وهنا نستخدم قاعدة أسس متساوية، لذلك يجب أن تكون القوى المقابلة لهذين الأسين متساوية:

$9n = 18$

الآن، نقسم الطرفين على 9 لحل المعادلة:

$n = \frac{18}{9} = 2$

إذاً، قيمة $n$ تساوي 2.

باختصار، استخدمنا قوانين الأسس والتوسيع مع العمليات الحسابية الأساسية مثل الضرب والجمع لحل المعادلة الأصلية.