حل مسألة هندسية: مساحة مضلع ABDE (مسألة رياضيات)

المسألة:

تكون سداسيّة من النقاط A وB وC وD وE وF، ويكون محيطها هو 36 سم. يتم تشكيل مضلع جديد باستخدام نقاط A وE وB وD. احسب مساحة المضلع ABDE؟

الحل:

لحل هذه المسألة، نحتاج أولاً إلى حساب طول أضلاع السداسية ABCDEF. نعلم أن مجموع أضلاع أي سداسية هو مجرد ضعف محيطها، لذا نقوم بالقسمة على 2 للحصول على محيط السداسية.

محيط السداسية = 36 سم

إذاً، محيط ABCDEF = 36 × 2 = 72 سم

الآن نعلم أن جميع أضلاع السداسية متساوية الطول، لأنها سداسية منتظمة. لذا، طول كل ضلع يكون:

طول الضلع = محيط السداسية ÷ عدد الأضلاع = 72 ÷ 6 = 12 سم

الآن، نحن جاهزون لحساب مساحة المضلع ABDE. يمكننا تفريغ المضلع إلى مثلثين: ΔABE وΔBDE.

نعلم أن ΔABE وΔBDE هما متطابقان بناءً على مبدأ السياق والزاوية المشتركة (الضلوع AB وBD).

لحساب مساحة ΔABE أو ΔBDE، نستخدم القاعدة التقليدية لمساحة المثلث:

مساحة المثلث = (قاعدة × ارتفاع) ÷ 2

ونعلم أن طول قاعدة المثلث (AB أو BD) هو 12 سم (الضلع المشترك)، والارتفاع هو المسافة بين القاعدة والنقطة الثالثة (E أو D)، والتي يمكننا حسابها باستخدام مسافة AE أو BE.

نفترض أن AE تمثل الارتفاع. لحساب AE، يمكننا استخدام قانون فيثاغورس للمثلث ΔABE:

$AE = \sqrt{AB^2 – BE^2}$

بمعرفة طول AE، يمكننا حساب مساحة ΔABE باستخدام القاعدة السابقة.

بعد حساب مساحة ΔABE، يمكننا ضربها في 2 للحصول على مساحة المضلع ABDE (لأن ΔBDE متطابق مع ΔABE).

هذا هو الحل بالتفصيل لمسألتك الرياضية.

بالطبع، دعونا نستكمل الحل بتفاصيل أكثر وذلك باستخدام القوانين المناسبة.

1. حساب طول أضلاع السداسية:
   محيط السداسية يُحسب بجمع أطوال جميع الأضلاع. في هذه الحالة، محيط السداسية ABCDEF يكون:

   $\text{محيط السداسية} = 36 \, \text{سم}$

   ونعلم أن السداسية منتظمة، لذا كل ضلع يكون طوله:

   $\text{طول الضلع} = \frac{\text{محيط السداسية}}{6} = \frac{36}{6} = 6 \, \text{سم}$

2. حساب مسافة AE:
   نحتاج إلى حساب مسافة AE باستخدام قانون فيثاغورس في المثلث ΔABE. يكون العلاقة كالتالي:

   $AE = \sqrt{AB^2 – BE^2}$

   حيث $AB$ هو طول أحد الأضلاع (6 سم) و$BE$ هو نصف طول الضلع (نصف الضلع يكون مساويًا لـ 3 سم).

   $AE = \sqrt{6^2 – 3^2} = \sqrt{36 – 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \, \text{سم}$

3. حساب مساحة ΔABE:
   بعد حساب مسافة AE، يمكننا استخدام قاعدة حساب مساحة المثلث:

   $\text{مساحة ΔABE} = \frac{1}{2} \times \text{قاعدة} \times \text{ارتفاع} = \frac{1}{2} \times 6 \times 3\sqrt{3} = 9\sqrt{3} \, \text{سم}^2$

4. حساب مساحة المضلع ABDE:
   لأن ΔBDE متطابق مع ΔABE، فإن مساحة المضلع ABDE تكون مجرد ضعف مساحة ΔABE.

   $\text{مساحة ABDE} = 2 \times \text{مساحة ΔABE} = 2 \times 9\sqrt{3} = 18\sqrt{3} \, \text{سم}^2$

تم استخدام قوانين الهندسة الأساسية، مثل قانون فيثاغورس لحساب المسافة في المثلث وقاعدة حساب مساحة المثلث. الدقة في الحسابات تمثل الخطوة الرئيسية في الوصول إلى الإجابة النهائية.