حل مسألة هندسية: مساحة مثلثات متناسبة (مسألة رياضيات)

نظرًا لأن النسبة بين طولي الضلعين BD وDC هي 4 إلى 3، ومساحة المثلث ABD هي 24 سم مربع، فما هي مساحة المثلث ADC؟

لنحل المسألة، دعنا نقم بتمثيل المعطيات بشكل مناسب.

لنفترض أن طول الضلع BD يساوي 4x وطول الضلع DC يساوي 3x.

مساحة المثلث ABD = (قاعدته × الارتفاع) ÷ 2

مساحة المثلث ABD = (BD × AH) ÷ 2

مساحة المثلث ABD = (4x × AH) ÷ 2

لكننا نعلم أن مساحة المثلث ABD هي 24 سم مربعًا، لذا:

24 = (4x × AH) ÷ 2

نقوم بإعادة ترتيب المعادلة للعثور على قيمة AH:

AH = (24 × 2) ÷ 4x

AH = 48 ÷ 4x

AH = 12 ÷ x

الآن، نحتاج إلى حساب مساحة المثلث ADC. مساحة المثلث ADC هي نصف مضاعف مساحة المثلث ABD لأنهما يمتلكان نفس القاعدة (DC) ونفس الارتفاع (AH).

مساحة المثلث ADC = (DC × AH) ÷ 2

ونعلم أن DC = 3x و AH = 12 ÷ x ، لذا:

مساحة المثلث ADC = (3x × (12 ÷ x)) ÷ 2

مساحة المثلث ADC = (36 ÷ x) ÷ 2

مساحة المثلث ADC = 18 ÷ x

الآن، علينا أن نعرف قيمة x لكي نحسب مساحة المثلث ADC. لحساب قيمة x، نحتاج إلى استخدام مساحة المثلث ABD البالغة 24 سم مربعًا.

24 = (4x × 12 ÷ x) ÷ 2

نبسط العبارة ونقوم بإيجاد قيمة x:

24 = (48 ÷ x) ÷ 2

24 = 48 ÷ (2x)

48 = 48x

بالقسمة على 48:

x = 1

الآن، بعد أن عرفنا قيمة x، يمكننا حساب مساحة المثلث ADC:

مساحة المثلث ADC = 18 ÷ 1 = 18 سم مربع.

لذا، مساحة المثلث ADC هي 18 سم مربع.

في هذه المسألة الرياضية، نواجه وضعية تتعلق بالمثلثات والنسب الهندسية. لحل المسألة، نحتاج إلى استخدام عدة مفاهيم وقوانين هندسية.

القوانين والمفاهيم المستخدمة:

1. قانون مساحة المثلث: يعلمنا أن مساحة المثلث تُحسب بالطريقة التالية: (قاعدته × الارتفاع) ÷ 2.

2. النسب الهندسية: في المثلث المعطى، النسب بين طولي الضلعين (BD وDC) هو 4 إلى 3. هذا يعني أننا نستطيع تمثيل طول BD بـ 4x وطول DC بـ 3x.

3. تطبيق النسب الهندسية: استخدمنا النسبة المعطاة لتمثيل أطوال الضلوع BD وDC.

4. مضاعفة المساحة: عندما نمتلك مثلثين يشتركان في قاعدة مشتركة وارتفاع متساوي، فإن مساحة المثلث الأكبر تكون ضعف مساحة المثلث الأصغر.

الآن، نبدأ في حل المسألة:

1. نقوم بتمثيل طول BD بـ 4x وطول DC بـ 3x.
2. نعرف أن مساحة المثلث ABD هي 24 سم مربعًا، فنقوم بحساب قيمة x باستخدام هذه المعلومة.
3. بمعرفة قيمة x، نحسب طولي الضلوع BD وDC.
4. بعد ذلك، نحسب ارتفاع المثلث ABD باستخدام القاعدة المعروفة ومساحتها المعطاة.
5. نستخدم الارتفاع الذي حسبناه للمثلث ABD لحساب مساحة المثلث ADC بنفس القاعدة (DC) ونستخدم النسبة 3x.
6. نجد مساحة المثلث ADC بمضاعفة مساحة المثلث ABD.
7. في النهاية، نحسب قيمة x ونستخدمها لحساب مساحة المثلث ADC.

هذه العمليات تعبر عن الطريقة التي نستخدمها لحل المسألة، وتدل على كيفية تطبيق المفاهيم الهندسية والحسابية للوصول إلى الإجابة الصحيحة.