حل مسألة هندسية: طول الضلع وقياس الزاوية (مسألة رياضيات)

نريد حساب طول الضلع $AB$، ونعلم أنه إذا كان طول ضلع $BD$ يساوي $7$، وأن محيط المثلث $CBD$ هو $19$، ومحيط المثلث $ABC$ هو $20$، فإننا نريد حساب طول $AB$.

لنستخدم المعلومات التي أعطيت لنا في الرسم البياني:
لدينا مثلثان متساوي الأضلاع: $ABC$ و $CBD$. إذا كانت زوايا قاعدتيهما متساويتين، فإن الزاوية $A$ تساوي الزاوية $B$ والزاوية $B$ تساوي الزاوية $D$.
في الوقت نفسه، يجب أن تكون مجموع زوايا كل مثلث تساوي $180^\circ$.

لنقم بتسمية زوايا مجموعة الزوايا المتساوية في كل مثلث:

1. زاوية $A$ وزاوية $B$ في $\triangle ABC$: لنسمي قيمة هذه الزاويا $y$ درجة.
2. زاوية $B$ وزاوية $D$ في $\triangle CBD$: لنسمي قيمة هذه الزاويا $x$ درجة.

الآن لنقم بتحليل محيط كل مثلث:

1. محيط $\triangle ABC$: $AB + BC + AC = 20$ (الجوانب الثلاثة).
2. محيط $\triangle CBD$: $CB + BD + DC = 19$ (الجوانب الثلاثة).

نلاحظ أن $BC = CD$ لأن كلا القيمتين تمثلان قاعدة نفس الجزء من القائمتين على $BD$.

بما أننا نعلم أن قاعدة $BD$ تساوي $7$، فإننا نستطيع القول أن $BC = CD = 7$، وبالتالي:

$BC + BD + CD = 7 + 7 + 7 = 21$

هذا يتعارض مع المعلومة التي أعطيت لنا أن محيط $\triangle CBD$ يساوي $19$. لذا هناك خطأ في البيانات المعطاة.

لكن إذا افترضنا أن الإجابة على السؤال الأصلي (طول $AB$) هي $8$، فإنه يمكننا حساب قيمة $x$ باستخدام الأساسيات الهندسية. لذا، نراجع الشكل الهندسي:

نستخدم القاعدة التي ذكرت سابقًا: $BC = CD$، بالإضافة إلى أن مجموع قياسات زوايا المثلث تساوي $180^\circ$.

بما أن $BD$ خط أساس في كلا المثلثين، فإن قيمة $x$ ستكون نفس قيمة الزاوية الناقصة من $180^\circ$ لكل مثلث من مجموع قياسات زوايا المثلث:

$x = 180^\circ – y$

لكن هذا لا يعني أن قيمة $x$ تساوي $180^\circ – y$ بالضبط، فلنحسبها بدقة:

$x = 180^\circ – y = 180^\circ – 8^\circ = 172^\circ$

في النهاية، إذا كانت الإجابة الصحيحة لطول $AB$ هي $8$ وفقًا للسؤال الأصلي، فإن قيمة $x$ ستكون $172^\circ$ حسب التفاصيل المعطاة.

لحل هذه المسألة، سنستخدم مجموعة من القوانين والمفاهيم الهندسية الأساسية. الهدف هو حساب قيمة طول الضلع $AB$ والزاوية $x$ في المثلث $CBD$.

1. قانون مجموع زوايا المثلث: مجموع قياسات زوايا المثلث تساوي $180^\circ$. هذا يعني أننا يمكننا حساب قيمة أي زاوية في المثلث عندما نعرف قيمتي الزاويتين الأخريين.

2. قوانين المثلثات المتساوية الضلعين: إذا كانت الأضلاع في المثلث متساوية الطول، فإن الزوايا المقابلة لهذه الأضلاع متساوية.

3. قانون مجموع أطوال الأضلاع في المثلث: مجموع أطوال الأضلاع في المثلث يساوي مجموع الأطوال في كل مثلث.

الآن دعونا نحل المسألة خطوة بخطوة:

أولاً، لنحسب قيمة الزاوية $x$ في المثلث $CBD$:
لدينا أن محيط $CBD$ هو $19$، والجزء المعروف منه هو الضلع $BD$ الذي يساوي $7$. لذا نحتاج إلى حساب مجموع أطوال الضلوع الآخرين $CB$ و $CD$، ونطرح هذا الإجمالي من محيط المثلث.
$CB + CD + BD = 19$
$CB + 7 + CB = 19$
$2CB = 12$
$CB = CD = 6$

الآن، لدينا قيم متساوية لأضلاع المثلث $CBD$.

ثانيًا، لنحسب قيمة الزاوية $x$:
نستخدم قانون مجموع زوايا المثلث، حيث إن $x$ هو الزاوية المتبقية في المثلث $CBD$ بعد زاوية $B$ وزاوية $D$.
$x = 180^\circ – y$
مع العلم أن $y = 8^\circ$ (لأن $AB = 8$)، فإن:
$x = 180^\circ – 8^\circ = 172^\circ$

ثالثًا، الآن لدينا كل المعلومات التي نحتاجها لحساب قيمة $AB$ في المثلث $ABC$:
نستخدم قانون مجموع أطوال الأضلاع في المثلث $ABC$:
$AB + BC + AC = 20$
ونعلم أن $BC = CD = 6$ (من المثلث $CBD$)، لذا:
$AB + 6 + 6 = 20$
$AB = 8$

بالتالي، نستنتج أن قيمة زاوية $x$ هي $172^\circ$ وقيمة طول $AB$ هي $8$، وهي الإجابة المطلوبة.