حل مسألة هندسية: المسافة والإحداثيات (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:

نعطى أن هناك نقطة (x، y) تبعد 12 وحدة عن محور السينات، و10 وحدات عن النقطة (1، 6)، ومسافة n عن الأصل، حيث x أكبر من 1، ما هو قيمة n؟

الحل:

لنبدأ بتحديد موقع النقطة (x، y) على المستوى الكارتيزياني. نعلم أن النقطة تبعد 12 وحدة عن محور السينات، لذلك يمكننا كتابة ذلك بالشكل التالي:

$|y| = 12$

ثم نعلم أن النقطة تبعد 10 وحدات عن النقطة (1، 6). لنستخدم قاعدة المسافة بين نقطتين في المستوى الكارتيزياني:

$d = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}$

في حالتنا، (1، 6) تمثل النقطة الأولى و (x، y) تمثل النقطة الثانية، لذلك:

$d = \sqrt{(x – 1)^2 + (y – 6)^2} = 10$

الآن نقوم بتعويض القيمة المعروفة لـ |y| ونقوم بحساب المعادلة الثانية:

$d = \sqrt{(x – 1)^2 + (12 – 6)^2} = 10$

نبسط المعادلة:

$d = \sqrt{(x – 1)^2 + 36} = 10$

نربع الطرفين للتخلص من الجذر:

$(x – 1)^2 + 36 = 100$

نطرح 36 من الطرفين:

$(x – 1)^2 = 64$

نستخرج الجذر:

$x – 1 = \pm 8$

ثم نحسب x:

$x = 1 + 8 \quad \text{أو} \quad x = 1 – 8$

$x = 9 \quad \text{أو} \quad x = -7$

لكن نعلم أن x أكبر من 1، لذلك القيمة المقبولة هي $x = 9$.

الآن، لحساب القيمة n، نستخدم معادلة المسافة من الأصل:

$n = \sqrt{x^2 + y^2}$

نستخدم القيم التي حسبناها:

$n = \sqrt{9^2 + 12^2}$

$n = \sqrt{81 + 144}$

$n = \sqrt{225}$

$n = 15$

إذاً، قيمة n هي 15 وهي المسافة بين النقطة (x، y) والأصل.

الحل:

لحل هذه المسألة، سنستخدم قاعدتين أساسيتين في الجبر الهندسي، وهما قانون المسافة بين نقطتين وقانون المسافة من الأصل.

1. قانون المسافة بين نقطتين:
   في المستوى الكارتيزياني، المسافة بين نقطتين $(x_1, y_1)$ و $(x_2, y_2)$ يمكن حسابها باستخدام المعادلة:
   $d = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}$

2. قانون المسافة من الأصل:
   المسافة بين النقطة $(x, y)$ والأصل (النقطة (0، 0)) يمكن حسابها باستخدام المعادلة:
   $n = \sqrt{x^2 + y^2}$

الآن، سنستخدم هذين القانونين في حل المسألة:

أولاً، قانون المسافة بين نقطتين لحساب المسافة بين النقطة (x، y) والنقطة (1، 6):
$d = \sqrt{(x – 1)^2 + (y – 6)^2} = 10$

نبسط المعادلة:
$(x – 1)^2 + (y – 6)^2 = 100$

نستخدم القانون الثاني للمسافة بين النقطة (x، y) والأصل:
$n = \sqrt{x^2 + y^2}$

نقوم بحساب القيمة المطلوبة:
$n = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$

لذا، القيمة المطلوبة للمسافة $n$ هي 15.

القوانين المستخدمة:

1. قانون المسافة بين نقطتين:
   $d = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}$

2. قانون المسافة من الأصل:
   $n = \sqrt{x^2 + y^2}$

تم استخدام هذين القانونين لحساب المسافات بين النقاط والأصل والتوصل إلى القيمة النهائية للمسافة $n$ بشكل دقيق.