حل مسألة: نقاط تقاطع محور السينات (مسألة رياضيات)

عدد النقاط التي تقاطع محور السينات (نقاط التقاطع في المحور الأفقي) للدالة $y = (x-5)(x^2+5x+6)$ هو نفس عدد الحلول لمعادلة $y = 0$ التي تنشأ من هذه الدالة. لذا، يجب حساب الجذور (الحلول) لهذه المعادلة.

نبدأ بتفكيك الدالة إلى مجموعة من العوامل:
$y = (x-5)(x^2+5x+6)$

الآن، لنحل المعادلة $y = 0$ بتعويض $y$ بالصفر وحل المعادلة الناتجة.

$(x-5)(x^2+5x+6) = 0$

يمكننا حل هذه المعادلة عن طريق تطبيق خاصية الصفر المشترك للضرب، وهي أنه إذا كانت حاصل الضرب لعدة عوامل يساوي صفرًا، فإن أحد العوامل يساوي صفرًا.

لذا، لدينا:
$x – 5 = 0$ أو $x^2 + 5x + 6 = 0$

حل المعادلة الأولى يعطينا $x = 5$.

الآن، لحل المعادلة الثانية، يمكن استخدام الطريقة التالية: نحتاج إلى العثور على جذور المعادلة التربيعية $x^2 + 5x + 6 = 0$ باستخدام العملية المعروفة بالمقلوب المجموع والمقلوب المنتج.

لحساب الجذر، يمكننا استخدام الصيغة التالية:
$x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 – 4ac}}}}{{2a}}$
حيث $a = 1$، $b = 5$، و $c = 6$.

باستخدام هذه الصيغة، نحسب قيم $x$.

$x = \frac{{-5 \pm \sqrt{{5^2 – 4 \cdot 1 \cdot 6}}}}{{2 \cdot 1}}$

$x = \frac{{-5 \pm \sqrt{{25 – 24}}}}{{2}}$

$x = \frac{{-5 \pm \sqrt{{1}}}}{{2}}$

$x = \frac{{-5 \pm 1}}{{2}}$

نحصل على جذرين:
$x_1 = \frac{{-5 + 1}}{{2}} = \frac{{-4}}{{2}} = -2$
$x_2 = \frac{{-5 – 1}}{{2}} = \frac{{-6}}{{2}} = -3$

لذا، لدينا ثلاثة جذور: $x = 5$، $x = -2$، و $x = -3$. وبالتالي، هناك ثلاث نقاط تقاطع محور السينات مع الرسم البياني للدالة.

لحل المسألة، نستخدم مجموعة من القوانين والمفاهيم الرياضية الأساسية. لنقم بتفصيل الحل وذكر القوانين المستخدمة:

1. تفكيك الدالة إلى عوامل:
   لحل المعادلة، نبدأ بتفكيك الدالة إلى عواملها الأساسية. في هذه المسألة، نمتلك دالة من الدرجة الثانية مضروبة في عامل من الدرجة الأولى.

2. قانون الصفر المشترك للضرب:
   يُستخدم لحل المعادلة الكلية، حيث نفترض أن إذا كان حاصل الضرب لعدة عوامل يساوي صفرًا، فإن أحد تلك العوامل يساوي صفرًا.

3. حساب الجذور باستخدام صيغة المقلوب المجموع والمقلوب المنتج:
   يُستخدم لحساب جذور المعادلة التربيعية. نستخدم هنا الصيغة العامة لحساب الجذرين باستخدام قوانين الجذور وصيغة المقلوب المجموع والمقلوب المنتج.

4. قانون حل المعادلات التربيعية:
   يستخدم لحساب جذور المعادلة التربيعية $ax^2 + bx + c = 0$ باستخدام صيغة الجذر الموجب والسالب.

5. مفهوم النقطة التقاطع مع محور السينات:
   يُعطي عدد النقاط التي يقاطعها محور السينات عدد الحلول لمعادلة الدالة عندما تساوي صفرًا.

باستخدام هذه القوانين والمفاهيم، نستطيع حل المسألة بدقة وتفصيل. الحل يشمل خطوات حسابية دقيقة وتطبيق للقوانين الرياضية المتعلقة بالجذور وحل المعادلات.