مسائل رياضيات

حل مسألة: منتصف الشق في الإحداثيات القطبية (مسألة رياضيات)

اخر تحديث 11/03/2024
0

نريد أن نجد منتصف الشق المستقيم بين نقطتي $\left( 8, \frac{5 \pi}{12} \right)$ و $\left( 8, -\frac{3 \pi}{12} \right)$ في نظام الإحداثيات القطبية.

لحساب منتصف الشق المستقيم بين هاتين النقطتين، يمكننا استخدام الصيغ التالية:

مواضيع ذات صلة
(r,θ)=(r1+r22,θ1+θ22)(r, \theta) = \left( \frac{r_1 + r_2}{2}, \frac{\theta_1 + \theta_2}{2} \right)

حيث $(r_1, \theta_1)$ و $(r_2, \theta_2)$ هما إحداثيات النقطتين.

بما أننا نعرف أن الإجابة هي $(4, \frac{\pi}{12})$، فإنه يمكننا استخدام ذلك لحساب قيمة $X$.

لدينا:

(r1,θ1)=(8,5π12)(r2,θ2)=(8,−3π12)(r,θ)=(4,π12)\begin{align*} (r_1, \theta_1) &= \left( 8, \frac{5 \pi}{12} \right) \\ (r_2, \theta_2) &= \left( 8, -\frac{3 \pi}{12} \right) \\ (r, \theta) &= (4, \frac{\pi}{12}) \end{align*}

بالتعويض في الصيغة، نحصل على:

4=8+82=162=8π12=5π12−3π122=2π122=π12\begin{align*} 4 &= \frac{8 + 8}{2} = \frac{16}{2} = 8 \\ \frac{\pi}{12} &= \frac{\frac{5 \pi}{12} – \frac{3 \pi}{12}}{2} = \frac{\frac{2 \pi}{12}}{2} = \frac{\pi}{12} \end{align*}

من المعادلات السابقة، نرى أنه:

X=1X = 1

إذاً، قيمة المتغير المجهول $X$ هي 1.

المزيد من المعلومات

لحل المسألة، نستخدم القوانين الأساسية لتحويل النقاط من الإحداثيات القطبية إلى الإحداثيات القطبية والعكس، بالإضافة إلى قوانين الجبر والهندسة الفراغية.

القانون الرئيسي الذي نستخدمه في هذه المسألة هو قانون حساب نقطة الوسط (المنتصف) بين نقطتين في الإحداثيات القطبية. وفقاً لهذا القانون، نقوم بحساب متوسط الشعاع (البعد $r$) ومتوسط الزاوية (الزاوية $\theta$) بين النقطتين.

المعادلة التي نستخدمها هي:

(r,θ)=(r1+r22,θ1+θ22)(r, \theta) = \left( \frac{r_1 + r_2}{2}, \frac{\theta_1 + \theta_2}{2} \right)

حيث $(r_1, \theta_1)$ و $(r_2, \theta_2)$ هما إحداثيات النقطتين.

في هذه المسألة، لدينا نقطتان معطاة في الإحداثيات القطبية:

(r1,θ1)=(8,5π12)(r2,θ2)=(8,−3π12)\begin{align*} (r_1, \theta_1) &= \left( 8, \frac{5 \pi}{12} \right) \\ (r_2, \theta_2) &= \left( 8, -\frac{3 \pi}{12} \right) \end{align*}

نريد أن نحسب النقطة التي تمثل منتصف الشق بين هاتين النقطتين، والتي تمثل النقطة $(r, \theta)$.

بمعرفة أن الإجابة هي $(4, \frac{\pi}{12})$، نستطيع حل للقيمة المجهولة $X$.

نستخدم القوانين الجبرية لحساب المعادلات:

4=8+82=162=8π12=5π12−3π122=2π122=π12\begin{align*} 4 &= \frac{8 + 8}{2} = \frac{16}{2} = 8 \\ \frac{\pi}{12} &= \frac{\frac{5 \pi}{12} – \frac{3 \pi}{12}}{2} = \frac{\frac{2 \pi}{12}}{2} = \frac{\pi}{12} \end{align*}

من هذه المعادلات، نجد أن $X = 1$.

لذا، قيمة المتغير المجهول $X$ هي 1.

هذا هو الحل بالتفصيل المطلوب، حيث استخدمنا القوانين الأساسية للإحداثيات القطبية والجبرية لحساب المعادلات والمتغيرات المجهولة.

اخر تحديث 11/03/2024
0