حل مسألة ملء الخزان الرياضية (مسألة رياضيات)

إذاً، لدينا أن الأنبوب الأول (ب) يمكنه ملء الخزان بمفرده في 12 دقيقة، والأنبوب الثاني (ق) يمكنه ملء الخزان بمفرده في 15 دقيقة.

عندما يتم فتح الأنبوبين معًا، يتم ملء الخزان لأنهما يعملان معًا. ولكن بعد مرور 2 دقيقة، يتم إيقاف الأنبوب الأول (ب) ويترك الأنبوب الثاني (ق) يعمل بمفرده.

لنحسب معدل ملء الأنبوبين معًا:
معدل ملء الأنبوب الأول (ب) = 1/12 من الخزان في الدقيقة
معدل ملء الأنبوب الثاني (ق) = 1/15 من الخزان في الدقيقة
معدل ملء الأنبوبين معًا = (1/12) + (1/15) = (5/60) + (4/60) = 9/60 = 3/20 من الخزان في الدقيقة

بعد 2 دقيقة، تم ملء (2/20) من الخزان بواسطة الأنبوبين معًا.

الآن، بما أن الأنبوب الأول (ب) تم إيقافه، يعمل الأنبوب الثاني (ق) بمفرده بمعدل 1/15 من الخزان في الدقيقة.

لحساب الوقت الذي سيستغرقه الأنبوب الثاني (ق) لملء الجزء المتبقي من الخزان (18/20)، نستخدم العلاقة التالية:

الوقت = الكمية المتبقية ÷ معدل ملء الأنبوب الثاني (ق)
الوقت = (18/20) ÷ (1/15) = (18/20) × (15/1) = 13.5 دقيقة

إذاً، بعد إيقاف الأنبوب الأول (ب)، سيستغرق الأنبوب الثاني (ق) 13.5 دقيقة لملء الجزء المتبقي من الخزان.

بالطبع، دعونا نوضح الحل بمزيد من التفاصيل.

للحل، استخدمنا قانون “معدل العمل = الكمية / الزمن”، حيث يمكننا تمثيل معدل ملء الأنبوب بالوحدات الصحيحة للوقت (الدقائق). لنستخدم الرموز التالية:

ب = معدل ملء الأنبوب الأول (في الدقيقة)
ق = معدل ملء الأنبوب الثاني (في الدقيقة)
م = الجزء الممتلئ بواسطة الأنبوبين معًا في الدقيقتين الأوليتين

نعلم أن:
ب = 1/12
ق = 1/15

ونريد حساب م. في البداية، نجمع ب وق للحصول على معدل ملء الأنبوبين معًا:

م = ب + ق = 1/12 + 1/15 = 3/20

ومن ثم نحسب الكمية الممتلئة في الدقيقتين الأوليتين:

م = (3/20) × 2 = 6/20 = 3/10

إذاً، في الدقيقتين الأوليتين، مُلئت ثلث الخزان.

الخطوة التالية هي حساب الوقت الذي يستغرقه الأنبوب الثاني (ق) لملء الجزء المتبقي (1 – 3/10 = 7/10) من الخزان بمفرده. نستخدم معادلة “الوقت = الكمية المتبقية ÷ معدل العمل”، ونحصل على:

الوقت = (7/10) ÷ (1/15) = (7/10) × (15/1) = 10.5 دقيقة

لذا، يستغرق الأنبوب الثاني (ق) 10.5 دقيقة لملء الجزء المتبقي من الخزان بمفرده بعد إيقاف الأنبوب الأول (ب).

في هذا الحل، استخدمنا قوانين العمل والمعدل، وقوانين الكسور لحساب معدل ملء الأنبوبين معًا وكمية الماء الملء في الدقيقتين الأوليتين. ثم استخدمنا قانون الوقت لحساب الوقت الذي يستغرقه الأنبوب الثاني لملء الجزء المتبقي من الخزان بعد إيقاف الأنبوب الأول.