حل مسألة: مسافة أليس في الحديقة (مسألة رياضيات)

المسألة تقول إن هناك حديقة على شكل سداسي منتظم بطول جانب 2 كيلومتر. يبدأ أليس من أحد الزوايا ويسير على طول حافة الحديقة لمسافة 5 كيلومتر. السؤال هو: كم كيلومترًا هي بعيدة عن نقطة البداية؟

لحل هذه المسألة، يمكننا معرفة عدد المرات التي قامت فيها أليس بالدوران حول الحديقة الكاملة. لمعرفة ذلك، نقسم المسافة التي قطعتها أليس (5 كم) على طول ضلع الحديقة (2 كم). الناتج يشير إلى عدد المرات التي قامت فيها بالدوران حول الحديقة.

\text{عدد الدورات} = \frac{5 \, \text{كم}}{2 \, \text{كم/دورة}} = 2.5 \, \text{دورة}

لكن العدد 2.5 لا يعبر عن دورات كاملة. فإنها تدور مرتين ونصف فقط. الجزء الكامل من الدورات هو 2 دورة.

بعد ذلك، نرى كم تبقى من المسافة بعد اتمام أليس للدورتين. لدينا 5 كيلومتر – (2 دورة × 6 كيلومتر) = 5 كيلومتر – 12 كيلومتر = -7 كيلومتر.

لكن الناتج -7 كيلومتر لا يمكن أن يكون صحيحًا بمعنى المسافة المتبقية، لأنه يعبر عن اتجاه معاكس للسير. لذا، نعتبر القيمة المطلقة للناتج (|-7|) لنحصل على المسافة الفعلية المتبقية.

|-7| = 7 \, \text{كم}

الآن، بما أن السؤال يتطلب المسافة عن نقطة البداية، فإننا نستخدم مفهوم الفاصل الزاوي والقانون الثلاثي للزوايا لحساب المسافة. السداسي منتظم يتكون من 6 زوايا متساوية. لذا، نقسم المسافة المتبقية (7 كم) على 6 لنحصل على المسافة من كل زاوية.

\text{المسافة من كل زاوية} = \frac{7 \, \text{كم}}{6} = \frac{7}{6} \, \text{كم}

الآن، لحساب المسافة من نقطة البداية، نستخدم القانون الثلاثي للزوايا والمسافة لنحسب المسافة الطولية.

نحن نستخدم الزاوية المركزية (360 درجة ÷ 6 = 60 درجة) ونحسب قيمة الجيب (cosine) من 60 درجة.

\cos(60^\circ) = \frac{\text{المسافة من نقطة البداية}}{7/6 \, \text{كم}}

حل المعادلة:

\text{المسافة من نقطة البداية} = \frac{7}{6} \, \text{كم} \times \cos(60^\circ)

الآن، نحسب قيمة الكوساين لـ 60 درجة. قيمة الكوساين لـ 60 درجة هي 0.5.

\text{المسافة من نقطة البداية} = \frac{7}{6} \, \text{كم} \times 0.5 = \frac{7}{12} \, \text{كم}

لذا، المسافة من نقطة البداية هي 7/12 كيلومتر. ولكن يجب أن نلاحظ أن الإجابة المطلوبة ليست بالتحديد 7/12 كيلومتر. الإجابة تطلب المسافة بالتمام والكمال، لذا يجب تحويل 7/12 إلى جذر.

\frac{7}{12} = \sqrt{\frac{49}{144}} = \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{144}} = \frac{7}{12}

وبالتالي، المسافة هي 7/12 كيلومتر، والتي تمثل الخيار $(C) \sqrt{15}$.

المزيد من المعلومات

فوائد وتحديات وجود القطط في المنزل

تحليل مركب C26H41N3O5