حل مسألة: مساحة مضلع سداسي داخل دائرة (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:
تحديد مساحة مضلع سداسي منتظم داخل دائرة مساحتها $324\pi$ وحدة مربعة. أعبر عن إجابتك بأبسط صورة للجذر.

حل المسألة:
لنبدأ بحساب نصف قطر الدائرة. مساحة الدائرة تُعطينا معلومات عن النصف قطر.

مساحة الدائرة = $\pi r^2$

من المعطيات المعطاة، نعلم أن:

$324\pi = \pi r^2$

بقسمة الجانبين على $\pi$ نحصل على:

$324 = r^2$

الآن نحتاج إلى أن نعرف القيمة الموجبة لـ $r$، لأن النصف القطر لا يمكن أن يكون سالبًا. نحسب جذر العدد 324:

$\sqrt{324} = 18$

لذا، قيمة $r$ هي 18 وحدة.

المضلع السداسي منتظم موجود داخل الدائرة، ونحن نعلم أن زواياه المركزية تساوي $360^\circ$ مقسومة على عدد الأضلاع، أي أنها $360^\circ \div 6 = 60^\circ$.

الآن، سنستخدم الزوايا لنحسب طول ضلع المضلع. لمضلع سداسي منتظم، كل الأضلاع متساوية الطول.

سنستخدم قانون الجيومتريا لمضلع منتظم، حيث أن زاوية داخل المضلع السداسي مقسومة الى مثلثين متطابقي الأضلاع.

نستخدم الجيومتريا للمثلث متساوي الأضلاع لنجد طول الضلع، حيث أن الزاوية المركزية للمضلع السداسي تقسم الدائرة الى ستة أقسام متطابقة، مما يعني أن قوس واحد يمثل طول ضلع المضلع السداسي.

لحساب طول الضلع، نستخدم الرابط بين زاوية المركز وطول القوس:
$L = r\theta$

حيث أن:

• $L$ هو طول القوس (طول الضلع)
• $r$ هو نصف قطر الدائرة (المسافة من مركز الدائرة إلى حافتها)
• $\theta$ هو الزاوية بالراديان

نستخدم الزاوية بالراديان لحساب طول الضلع:

$L = 18 \times 60^\circ$

لكن يجب تحويل الزاوية إلى الراديان. ونعلم أن $180^\circ = \pi$ راديان، لذا:

$60^\circ = \frac{60\pi}{180} = \frac{\pi}{3}$

الآن، نضع القيم في المعادلة:

$L = 18 \times \frac{\pi}{3} = 6\pi$

الآن لدينا طول الضلع هو $6\pi$ وحدات.

لحساب مساحة المضلع السداسي، نستخدم العلاقة التالية:

$A = \frac{3\sqrt{3}}{2} \times s^2$

حيث $s$ هو طول الضلع.

نعوض القيم:

$A = \frac{3\sqrt{3}}{2} \times (6\pi)^2$
$A = \frac{3\sqrt{3}}{2} \times 36\pi^2$
$A = 54\sqrt{3}\pi$

إذا، مساحة المضلع السداسي المنتظم داخل الدائرة المعطاة هي $54\sqrt{3}\pi$ وحدة مربعة.

في هذه المسألة، نقوم بحساب مساحة مضلع سداسي منتظم داخل دائرة. العملية تتطلب فهم العلاقات الهندسية بين الدائرة والمضلع السداسي، واستخدام بعض القوانين الهندسية والتحويلات بين الوحدات.

القوانين والمفاهيم المستخدمة في الحل تشمل:

1. مساحة الدائرة:
   يتم استخدام قانون مساحة الدائرة الذي يقول أن مساحة الدائرة تساوي $\pi r^2$ حيث $r$ هو نصف قطر الدائرة.

2. زوايا المضلع السداسي:
   المضلع السداسي المنتظم له زوايا داخلية تقسم الدائرة المحيطية إلى أقسام متساوية. في حالة المضلع السداسي، يكون لدينا 6 زوايا داخلية متساوية، وبالتالي كل زاوية تساوي $\frac{360^\circ}{6} = 60^\circ$.

3. العلاقة بين الزاوية وطول القوس:
   نستخدم العلاقة بين زاوية المركز وطول القوس: $L = r\theta$ حيث $L$ هو طول القوس، $r$ هو نصف قطر الدائرة، و$\theta$ هو الزاوية بالراديان.

4. تحويل الزوايا إلى الراديان:
   الزوايا تحسب بالراديان في العلاقات الهندسية، لذا يجب تحويل الزوايا من درجات إلى راديان باستخدام العلاقة $180^\circ = \pi$ راديان.

5. مساحة المضلع السداسي:
   نستخدم العلاقة لحساب مساحة المضلع السداسي المنتظم: $A = \frac{3\sqrt{3}}{2} s^2$ حيث $s$ هو طول الضلع.

من خلال معرفة هذه القوانين والمفاهيم، يمكننا حل المسألة بدقة وتفصيل، وتطبيق العلاقات الهندسية لحساب المقادير المطلوبة والتعبير عنها بالشكل المطلوب.