حل مسألة: مساحة مثلث ADC (مسألة رياضيات)

نظرًا لأن نسبة BD إلى DC هي 4 إلى 3، ومساحة مثلث ABD هي 24 سنتيمتر مربع، فما هي مساحة مثلث ADC؟

لنحل هذه المسألة، يمكننا استخدام النسبة بين مساحات المثلثين لحساب مساحة المثلث ADC. النسبة بين مساحتي المثلثين تكون متساوية مع نسبة أضلاعهما مضروبة في بعضها البعض.

مساحة المثلث ABD هي 24 سم². نريد حساب مساحة المثلث ADC.

لحساب مساحة المثلث ADC، نحتاج إلى معرفة طول القاعدة والارتفاع المتناظر مع هذه القاعدة. نستخدم النسبة بين الأضلاع للحصول على هذا الارتفاع.

النسبة بين الأضلاع BD وDC هي 4:3، وهذا يعني أنه إذا كان طول BD يُمثل بـ 4x وطول DC يُمثل بـ 3x، حيث x هو معامل التناسب.

لكن لدينا أيضًا معلومة مفيدة، وهي أن مساحة المثلث متناسبة مع مربعات الأضلاع. هذا يعني أنه إذا كانت النسبة بين أضلاع المثلثين هي 4:3، فإن مساحتهما تكون متناسبة مع 16:9.

لذا، إذا كانت مساحة المثلث ABD هي 24 سم²، فإننا نعرف أن:

$\frac{{\text{مساحة المثلث ABD}}}{{\text{مساحة المثلث ADC}}} = \frac{{BD^2}}{{DC^2}}$

$\frac{{24}}{{\text{مساحة المثلث ADC}}} = \frac{{16}}{{9}}$

لحل المعادلة والعثور على مساحة المثلث ADC، نضرب الطرفين في 24 ونقسم على 16/9:

$\text{مساحة المثلث ADC} = \frac{{24 \times 9}}{{16}} = 13.5 \, \text{سم}^2$

إذاً، مساحة المثلث ADC هي 13.5 سم².

في هذه المسألة، نتعامل مع مثلثين متطابقي الارتفاع والقاعدة، ونحتاج إلى استخدام مفهوم النسبة بين مساحات المثلثات ومفهوم النسبة بين مربعات الأضلاع للحل.

القوانين المستخدمة:

1. نسبة المساحات للمثلثات المتشابهة: إذا كانت أضلاع مثلثين متناسبة، فإن مساحتيهما متناسبتين مع مربعات أطوال الأضلاع المتناسبة.

2. نسبة بين الأضلاع للمثلثات المتشابهة: إذا كانت الأضلاع في مثلثين متشابهين، فإن النسبة بين مربعات الأضلاع متناسبة مع نسبة المساحات بين المثلثين.

الآن لحل المسألة:

مع النسبة التي قيلت في السؤال بأن BD إلى DC هي 4 إلى 3، نعلم أنه إذا كان طول BD يُمثل بـ 4x وطول DC يُمثل بـ 3x، حيث x هو معامل التناسب.

المساحة متناسبة مع مربعات الأضلاع، لذا إذا كانت النسبة بين الأضلاع 4:3، فإن مساحة المثلثات تكون متناسبة مع 16:9.

مساحة المثلث ABD معروفة وتساوي 24 سم²، لذا نستخدم النسبة بين المساحات لحساب مساحة المثلث ADC.

$\frac{{\text{مساحة المثلث ABD}}}{{\text{مساحة المثلث ADC}}} = \frac{{BD^2}}{{DC^2}}$

$\frac{{24}}{{\text{مساحة المثلث ADC}}} = \frac{{16}}{{9}}$

لتحل المعادلة، نضرب الطرفين في 24 ونقسم على 16/9:

$\text{مساحة المثلث ADC} = \frac{{24 \times 9}}{{16}} = 13.5 \, \text{سم}^2$

إذاً، مساحة المثلث ADC هي 13.5 سم².