حل مسألة: مركز دائرة بناءً على نقطتين (مسألة رياضيات)

النقاط (9، -5) و (-3، -1) هي نقاط نهايتين لقطر دائرة. ما هو مجموع إحداثيات مركز الدائرة؟

الحل:

لنحدد إحداثيات مركز الدائرة، يجب أن نعرف موقع منتصف القطر. يمكننا حساب منتصف القطر باستخدام الصيغة:

$\text{منتصف القطر} = \left(\frac{{x_1 + x_2}}{2}, \frac{{y_1 + y_2}}{2}\right)$

حيث أن $(x_1, y_1)$ و $(x_2, y_2)$ هما إحداثيات نهايتي القطر. في هذه الحالة:

$\text{منتصف القطر} = \left(\frac{{9 + (-3)}}{2}, \frac{{-5 + (-1)}}{2}\right)$

$\text{منتصف القطر} = \left(\frac{6}{2}, \frac{-6}{2}\right)$

$\text{منتصف القطر} = (3, -3)$

إذاً، إحداثيات مركز الدائرة هي (3، -3). ولكي نحسب مجموع إحداثيات مركز الدائرة، نجمع الإحداثيات:

$3 + (-3) = 0$

لذلك، مجموع إحداثيات مركز الدائرة هو 0.

بالطبع، دعونا نقوم بفحص تلك المسألة بمزيد من التفصيل ونستخدم القوانين الرياضية المناسبة في الحل.

المسألة تتعلق بدائرة، ونحن نعلم أن أي قطر لدائرة يمر عبر مركزها. لدينا نقطتين، $(9، -5)$ و $(-3، -1)$، هما نقاط نهاية للقطر. للعثور على مركز الدائرة، يجب علينا حساب منتصف القطر.

نستخدم الصيغة التالية للعثور على منتصف القطر:

$(\text{منتصف القطر}) = \left(\frac{{x_1 + x_2}}{2}, \frac{{y_1 + y_2}}{2}\right)$

حيث أن $(x_1, y_1)$ و $(x_2, y_2)$ هما إحداثيات نقطتي القطر.

في هذه الحالة، نحسب:

$(\text{منتصف القطر}) = \left(\frac{{9 + (-3)}}{2}, \frac{{-5 + (-1)}}{2}\right)$

الذي يؤدي إلى:

$(\text{منتصف القطر}) = (3, -3)$

إذاً، نجد أن إحداثيات مركز الدائرة هي $(3، -3)$. الآن، للتحقق من الإجابة واستخدام قانون آخر، يمكننا استخدام معادلة المسافة بين نقطتين في الفضاء.

معادلة المسافة بين نقطتين $(x_1, y_1)$ و $(x_2, y_2)$ هي:

$d = \sqrt{{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}}$

حيث $d$ هو المسافة بين النقطتين. يمكننا استخدام هذه المعادلة مع النقاط المعطاة للتحقق من أنها في الواقع على نفس القطر. إذا كانت المعادلة صحيحة، يكون لدينا القطر الصحيح.

لدينا النقطتين $(9، -5)$ و $(-3، -1)$، لذا نستخدم المعادلة لحساب المسافة:

$d = \sqrt{{(-3 – 9)^2 + (-1 – (-5))^2}}$

$d = \sqrt{{(-12)^2 + (4)^2}}$

$d = \sqrt{{144 + 16}}$

$d = \sqrt{{160}}$

$d = 4\sqrt{{10}}$

الآن، إذا كانت النقطتين تنتميان إلى نفس القطر، يجب أن تكون المسافة بينهما تمثل قطر الدائرة. وبما أن المسافة بين النقطتين هي $4\sqrt{{10}}$، فإن هذا يؤكد أننا على الفعل نتعامل مع قطر دائرة.

أخيرًا، يمكننا حساب مجموع إحداثيات مركز الدائرة كما فعلنا في الرد السابق:

$3 + (-3) = 0$

لذا، مجموع إحداثيات مركز الدائرة هو 0.