حل مسألة: محيط ومساحة المستطيل (مسألة رياضيات)

لنقم بإعادة صياغة المسألة باللغة العربية:

مستطيل له محيط يساوي $X$ وحدة، وأبعاده أعداد صحيحة. أقصى مساحة ممكنة للمستطيل بالوحدات المربعة هي 56. ما قيمة المتغير المجهول $X$؟

لنقم بحل المسألة:

لنفترض أن طول المستطيل يكون $l$ وعرضه يكون $w$.

من المعروف أن محيط المستطيل يساوي ضعف مجموع طول الضلعين، أي:

$2(l + w) = X$

ومعطيات المسألة تشير إلى أن مساحة المستطيل هي ناتج ضرب طوله في عرضه، أي:

$A = l \times w$

ويُعطى أن قيمة $A$ أقصى حد لها هي 56.

الآن، نحتاج إلى إيجاد الأبعاد التي تعطي أقصى مساحة ممكنة للمستطيل وفقًا للشرط المحدد، وهو 56.

يمكننا أولاً أن نجد جميع الأزواج الفريدة من الأعداد الصحيحة التي تحقق العلاقة $l \times w = A = 56$، والتي يكون مجموع طول وعرضها أصغر من أو يساوي $\frac{X}{2}$.

الأزواج الممكنة هي: (1, 56)، (2, 28)، و (4, 14).

الزوج (1, 56) غير ممكن لأن مجموع طول وعرض يساوي 57 وهو أكبر من $\frac{X}{2}$.

الزوج (2, 28) ممكن، لكن مجموع الأبعاد يساوي 30، وهو أقل من $\frac{X}{2}$.

الزوج (4, 14) هو الزوج الوحيد الذي يتوافق مع الشرط، حيث يكون مجموع الأبعاد 18.

لذا، قيمة $X$ تساوي $2 \times 18 = 36$.

في حل مسألة محيط المستطيل ومساحته، نستخدم العلاقات الهندسية الأساسية والقوانين الرياضية المعروفة للمستطيلات.

القوانين المستخدمة:

1. محيط المستطيل: محيط المستطيل يُعرف عموماً بأنه مجموع طول جميع الضلعين. في حالة المستطيل حيث له ضلعان متقابلان متساويان، يمكننا استخدام العلاقة:
   $\text{محيط المستطيل} = 2 \times (\text{الطول} + \text{العرض})$

2. مساحة المستطيل: مساحة المستطيل هي الناتج من ضرب طوله في عرضه:
   $\text{مساحة المستطيل} = \text{الطول} \times \text{العرض}$

الآن، بناءً على المعطيات التي تعطينا محيط المستطيل وأقصى قيمة ممكنة لمساحته، نحتاج إلى العثور على الأبعاد التي تحقق هذه المساحة القصوى.

في هذه المسألة، تم تقديم معطيات تفيد أن المساحة القصوى هي 56 وحدة مربعة. لذا، نبحث عن زوج من الأعداد الصحيحة يعطينا ضربهما مساحة تساوي 56.

الأزواج الممكنة هي الأعداد التي تقبل القسمة على 56، وهي (1, 56)، (2, 28)، و (4, 14).

لكن، بما أننا نبحث عن أبعاد المستطيل التي تجعل مجموع طول وعرضه أقل من أو يساوي محيط المستطيل المعطى (المساوي للمعادلة $X$)، فإننا نحتاج إلى اختيار الزوج الذي يتناسب مع هذا الشرط.

بعد البحث، وجدنا أن الزوج (4, 14) هو الزوج الوحيد الذي يتوافق مع الشرط، حيث يكون مجموع الأبعاد 18.

وبالتالي، قيمة $X$ تساوي $2 \times 18 = 36$ وهي الإجابة على المسألة.