حل مسألة: محيط قاعدة المخروط الصحيح (مسألة رياضيات)

يتمثل المطلوب في معرفة محيط قاعدة المخروط الدائرية الصحيحة، والتي يكون حجمها 12π سم مكعب وارتفاعها 4 سم.

لحساب محيط القاعدة، نحتاج إلى استخدام العلاقة بين حجم المخروط وحجم المخروط الصغير المُكوَّن من القاعدة وجزء صغير من المخروط (المخروط الصغير الذي يكون قمته نفس قمة المخروط الأصلي وقاعدته تكون مماثلة لقاعدة المخروط الأصلي).

حجم المخروط يُعطى بالعلاقة التالية:
$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$
حيث $V$ هو حجم المخروط، $r$ هو نصف قطر قاعدته، و $h$ هو ارتفاعه.

وحيث أن الارتفاع معروف (4 سم) والحجم المعطى (12π سم مكعب)، يمكننا استخدام العلاقة لحساب نصف قطر قاعدة المخروط.

$12\pi = \frac{1}{3}\pi r^2 \times 4$

نقوم بحساب قيمة $r$ بترتيب المعادلة:

$12\pi = \frac{4}{3}\pi r^2$
$r^2 = \frac{12\pi \times 3}{4\pi} = 9$

من ذلك، يكون $r = 3$ سم.

الآن، بما أن القطر مرتبط بالمحيط بالعلاقة $d = 2\pi r$، يمكننا حساب محيط القاعدة:

$C = 2\pi \times 3 = 6\pi$

إذاً، المحيط هو $6\pi$ سم.

في هذه المسألة، نستخدم مفهوم حجم المخروط الصحيح والعلاقات الهندسية الأساسية لحل المسألة. هذه العلاقات تتضمن:

1. حجم المخروط الصحيح:
   يتمثل حجم المخروط الصحيح في جزء من المساحة الأساسية (القاعدة) مضروباً في الارتفاع ومقسوماً على 3. العلاقة الرياضية لحجم المخروط الصحيح هي:
   $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$
   حيث $V$ هو حجم المخروط، $r$ هو نصف قطر القاعدة، و $h$ هو ارتفاع المخروط.

2. محيط القاعدة:
   محيط القاعدة يعطى بالعلاقة:
   $C = 2\pi r$
   حيث $C$ هو محيط القاعدة و $r$ هو نصف قطر القاعدة.

3. العلاقة بين حجم المخروط ومحيط القاعدة:
   عندما نعرف حجم المخروط وارتفاعه، يمكننا استخدام هذه المعلومات لحساب نصف قطر القاعدة، ومن ثم استخدامه لحساب محيط القاعدة.

الآن، بالنظر إلى المسألة المعطاة، نحن مطالبون بحساب محيط قاعدة المخروط الصحيح. لنقوم بهذا، نستخدم العلاقة بين حجم المخروط وأبعاده. نعطينا حجم المخروط (12π) والارتفاع (4)، ونحتاج إلى حساب نصف قطر القاعدة (r) باستخدام العلاقة الأولى. بمجرد حساب قيمة r، يمكننا استخدام العلاقة الثانية لحساب محيط القاعدة.

باستخدام هذه العلاقات، نستطيع بسهولة حساب المحيط بالقيم المعطاة والمعرفة.