حل مسألة: محيط ثلاثي قائم ومساحة. (مسألة رياضيات)

ثلاثي الزاوية قائم يحتوي على مساحة تساوي 120 وحدة مربعة، وطول لجمة من أضلاعه يبلغ 24 وحدة. ما هو محيط الثلاثي، بالوحدات؟

لنقم بتطبيق الحل:

لدينا العلاقة التالية بين مساحة المثلث وأطوال أضلاعه في حالة الثلاثي القائم:

مساحة المثلث = (نصف طول القاعدة) × (الارتفاع)

حيث أن القاعدة هي اللجم الأصغر والارتفاع هو اللجم الأكبر.

نعلم أن القاعدة تساوي 24 وحدة. لذا يمكننا تعويض هذه القيمة في العلاقة وحلها للعثور على الارتفاع.

120 = (24/2) × الارتفاع

بالتالي:

120 = 12 × الارتفاع

نقسم كلا الجانبين على 12 للحصول على قيمة الارتفاع:

الارتفاع = 120 / 12 = 10 وحدات.

الآن بمعرفة القيمة الارتفاع، يمكننا استخدام مبرهنة فيثاغورس لحساب الضلع الثالث (الضلع الآخر) للثلاثي القائم.

فيثاغورس: $c^2 = a^2 + b^2$

حيث أن $c$ هو الوتر (الضلع الذي يقابل الزاوية القائمة).

وبما أننا نعرف قيمة القاعدة والارتفاع، يمكننا حساب الضلع الثالث كالتالي:

$c^2 = 24^2 + 10^2$

$c^2 = 576 + 100$

$c^2 = 676$

$c = \sqrt{676} = 26$ وحدة.

الآن بعد أن حصلنا على الأضلاع الثلاثة، يمكننا حساب المحيط ببساطة عن طريق جمع الأضلاع معًا:

المحيط = القاعدة + الارتفاع + الوتر
المحيط = 24 + 10 + 26 = 60 وحدة.

إذاً، المحيط للثلاثي القائم هو 60 وحدة.

لحل مسألة المثلث القائم، يمكننا الاعتماد على مجموعة من القوانين والمفاهيم الرياضية. سنقوم بتفصيل الحل مع ذكر القوانين المستخدمة:

1. قانون فيثاغورث:
   ينص على أن في مثلث قائم الزاوية، مربع طول الوتر (الضلع المقابل للزاوية القائمة) يساوي مجموع مربعي طول الأضلاع الأخريين. في مسألتنا، يتمثل هذا في العلاقة:

   $$c^2 = a^2 + b^2$$

   حيث أن $c$ هو طول الوتر و $a$ و $b$ هما طولا الأضلاع الآخرين.

2. مساحة المثلث القائم:
   مساحة المثلث القائم تساوي نصف حاصل ضرب طول القاعدة في الارتفاع. في مسألتنا، إذا كانت المساحة $A$، والقاعدة $b$، والارتفاع $h$، يمكننا كتابة العلاقة التالية:

   $$A = \frac{1}{2} \times b \times h$$

3. محيط المثلث:
   محيط المثلث هو مجموع أطوال أضلاعه. في مسألتنا، يمكننا كتابة العلاقة كالتالي:

   $$P = a + b + c$$

الآن، سنبدأ بحل المسألة:

أولاً، نستخدم المعلومات المعطاة لحساب الارتفاع. لذا:

الآن، بعد أن حصلنا على الارتفاع، نستخدم قانون فيثاغورث لحساب طول الوتر $c$:

الآن، بعد أن حصلنا على طول الوتر والأضلاع الأخرى، يمكننا حساب المحيط ببساطة عن طريق جمع الأضلاع:

إذاً، المحيط للثلاثي القائم هو 60 وحدة.