حل مسألة: مجموع أطوال الأضلاع في مضلع متساوي الأضلاع (مسألة رياضيات)

في مضلع متساوي الأضلاع ABCDE، يتم إسقاط الأقواس العمودية AP، AQ، و AR من النقطة A على الأضلاع CD، CB المُمتدة، و DE المُمتدة على التوالي. مركز المضلع هو النقطة O، وطول OP يُساوي 1. الهدف هو إيجاد مجموع الأطوال AO، AQ، و AR.

لحل هذه المسألة، سنقوم بتحليل الخصائص الهندسية للمضلع ونستخدم المعلومات المعطاة لنقوم بحساب الأطوال المطلوبة.

من خصائص المضلع المنتظم (المتساوي الأضلاع)، نعلم أن زوايا الرأس في المضلع ABCDE تُقسم بشكل متساوٍ، بمعنى أن كل زاوية في المضلع تُساوي $\frac{360}{5} = 72$ درجة.

لنبدأ بحساب طول AP. نظرًا لأن P عبارة عن قدم عمودية من A إلى CD، ونعرف أن CD هي قطر المضلع المتساوي الأضلاع، فإن طول القطر يكون مُتساويًا لنصف طول الضلع. لذا، طول CD يكون نفس طول AO الذي هو نصف قطر المضلع. ونعلم أن OP = 1، لذا AO = 2.

ثم نستخدم مفهوم المثلثات المتشابهة. الزاوية بين AQ و AB هي زاوية مستقيمة بينما الزاوية بين AP و AB هي 72 درجة (نصف زاوية المضلع الداخلية). بالتالي، المثلثات AQO و APO متشابهة. يمكننا استخدام هذه المعلومة لحساب AQ.

نعلم أن طول AP = AO = 2. ونعلم أيضًا أن النسبة بين AO و AQ متساوية للنسبة بين OP و OQ، وهي 1. لذا، $\frac{AQ}{2} = \frac{1}{1}$، وبالتالي AQ = 2.

لحساب AR، نستخدم المفهوم نفسه للمثلثات المتشابهة. الزاوية بين AR و AE هي 72 درجة (نصف زاوية المضلع الداخلية)، والزاوية بين AP و AE هي زاوية مستقيمة. بالتالي، المثلثات ARO و AEO متشابهة.

نعلم أن طول AE يُساوي طول الضلع في المضلع المتساوي الأضلاع. ونعلم أيضًا أن طول AO = 2. من المثلثات المتشابهة، نحصل على النسبة التالية: $\frac{AR}{AO} = \frac{OE}{AE}$، وبما أن AE = 2 وطول OE يُمثل نصف طول الضلع، فإن OE = 1.

بالتالي، $\frac{AR}{2} = \frac{1}{2}$، وبالتالي AR = 1.

الآن، لحساب مجموع AO، AQ، و AR:

$AO + AQ + AR = 2 + 2 + 1 = 5$

إذاً، مجموع الأطوال هو 5.

لحل المسألة وحساب مجموع الأطوال $AO$، $AQ$، و $AR$ في المضلع العام ABCDE، نحتاج إلى الاعتماد على عدة مفاهيم هندسية وقوانين.

1. خصائص المضلع العام (المتساوي الأضلاع):

   • المضلع العام (المتساوي الأضلاع) له خمسة أضلاع متساوية الطول.
   • زوايا الرأس في المضلع العام يُقسم كل واحدة منها إلى $\frac{360^\circ}{5} = 72^\circ$.

2. مفهوم القطر والشعاع:

   • القطر هو الخط الذي يمر بمركز المضلع ويقسمه إلى قسمين متساويين.
   • الشعاع هو الخط الذي يربط مركز المضلع بأحد أطرافه.

3. مفهوم المثلثات المتشابهة:

   • إذا كانت الزوايا في مثلثين متشابهين متساوية، فإن النسب بين أضلاعهما متساوية.
   • هذا المفهوم يُستخدم لحساب أطوال الأضلاع الجديدة باستخدام نسب الأطوال في المثلثات المتشابهة.

الآن، نقوم بتطبيق هذه القوانين على المسألة:

• حساب طول $AO$:

  • يُعتبر $AO$ نصف قطر المضلع.
  • طول قطر المضلع يُعطى بالفعل ($OP = 1$).
  • لذا $AO = 2$.

• حساب طول $AQ$:

  • المثلثات $AQO$ و $APO$ متشابهة (لأن الزاوية بينهما مستقيمة والزاوية المجاورة لهما متساوية).
  • بالتالي، نستخدم نسبة الأطوال في المثلثات المتشابهة:
    $\frac{AQ}{AO} = \frac{OP}{OQ}$
  • بمعرفتنا أن $AO = 2$ و $OP = 1$، يمكننا حساب $OQ$ بسهولة:
    $\frac{AQ}{2} = \frac{1}{OQ}$
    $AQ = \frac{2}{OQ}$
  • من المعطيات، نعلم أن $OP = 1$، لذا $OQ = 2$.
  • بالتالي، $AQ = 2$.

• حساب طول $AR$:

  • نستخدم نفس المنهج كما في $AQ$، مع توجيه الانتباه إلى المثلثات المتشابهة $ARO$ و $AEO$، حيث يتم استخدام طول الضلع $AE$ الذي يُعطى بوصف المسألة.
  • بالمعطيات، نحصل على $AR = 1$.

• حساب مجموع $AO$، $AQ$، و $AR$:

  • $AO = 2$
  • $AQ = 2$
  • $AR = 1$
  • إذاً، مجموع الأطوال هو $2 + 2 + 1 = 5$.

باستخدام هذه القوانين والمفاهيم، نستطيع حساب أطوال الأضلاع المطلوبة بدقة وفهم أعمق للهندسة الهندسية والمثلثات المتشابهة.