حل مسألة: مثلثات متشابهة ومساحة. (مسألة رياضيات)

في المثلث ABC، نعرف أن E و F هما نقطتا منتصف الضلعين AC وAB على التوالي. مساحة المثلث ABC هي X وحدة مربعة. ومساحة المثلث CEF هي 6 وحدات مربعة. ما قيمة المتغير X غير المعروف؟

لنحل المسألة، نحتاج إلى استخدام المعرفة المعروفة حول المثلثات وعلاقات النقاط المتصلة بالمثلث.

لنبدأ بملاحظة أن المثلث CEF هو المثلث الذي يتكون من النقاط C، E، و F. نعلم أن E و F هما نقطتان منتصف الضلعين AC وAB على التوالي. وبالتالي، يمكننا أن نفترض أن طول ضلع CE يساوي طول ضلع CF.

من هذا، نعرف أن مساحة المثلث CEF يمكن حسابها باستخدام الصيغة التالية لمساحة المثلث:
$\text{مساحة المثلث} = \frac{1}{2} \times \text{القاعدة} \times \text{الارتفاع}$

ونعرف أن قاعدة المثلث CEF هي CF (أو CE لأنهما متساويان)، والارتفاع هو ارتفاع C بالنسبة للخط EF.

الآن، نتذكر أن E و F هما نقطتان منتصف الضلعين AC وAB. لذا، يكون خط EF متوازياً للضلع BC، وإذاً الارتفاع يكون متساوياً لنصف ارتفاع المثلث ABC.

الآن، لنجد الارتفاع. مساحة المثلث ABC هي X، لذا فإن الارتفاع مماثل للضلع BC يكون منتصف الارتفاع X.

بالتالي، ارتفاع المثلث CEF يكون X / 2.

الآن نحتاج إلى إيجاد طول الضلع CF (أو CE). نعرف أنهما نقطتان منتصف الضلعين AC وAB على التوالي، لذا طول الضلع CF يكون مساوياً لنصف طول الضلع AC.

الآن، نحن نعلم أن الارتفاع يساوي X / 2 والقاعدة CF تساوي نصف طول الضلع AC.

بالتالي، مساحة المثلث CEF هي:
$\text{مساحة المثلث CEF} = \frac{1}{2} \times CF \times \frac{X}{2}$
$6 = \frac{1}{2} \times \frac{AC}{2} \times \frac{X}{2}$

نعرف أيضا أن مساحة المثلث ABC هي X، والتي يمكن حسابها باستخدام الصيغة التالية لمساحة المثلث:
$\text{مساحة المثلث ABC} = \frac{1}{2} \times \text{القاعدة} \times \text{الارتفاع}$

وبما أن القاعدة هي الضلع AC والارتفاع هو الارتفاع بالنسبة للضلع AB، والذي يساوي الارتفاع بالنسبة للضلع BC، والذي بدوره يساوي X.

بالتالي:
$X = \frac{1}{2} \times AC \times X$

الآن نحن عند نقطة حاسمة لحل للمسألة. يمكننا استخدام المعرفة التي لدينا حول العلاقة بين مساحة المثلثات لحساب قيمة X.

بدلاً من حساب قيمة AC، نستخدم المعرفة المتاحة لدينا حول نسبة مساحة المثلثات لحل المعادلة. نعرف أن مساحة المثلث CEF هي 6 وحدات مربعة، وهي نصف مساحة المثلث ABC. لذا، نضرب 6 في 2 للحصول على قيمة مساحة المثلث ABC.

$6 \times 2 = 12$

الآن نحصل على معادلة جديدة:
$12 = \frac{1}{2} \times AC \times X$

نحل للحصول على قيمة X:
$X = \frac{24}{AC}$

الآن نحن بحاجة إلى إيجاد قيمة طول الضلع AC. لكن بما أننا لدينا المعلومة أن مساحة المثلث ABC هي X والتي تعادل 12، فإننا نستطيع استخدام الصي

لحل هذه المسألة، سنستخدم مفهوم المثلثات المتشابهة وقوانين الهندسة الأساسية لمساحة المثلث.

القوانين المستخدمة:

1. مساحة المثلث: يمكن حساب مساحة المثلث باستخدام الصيغة التالية: $\text{مساحة المثلث} = \frac{1}{2} \times \text{القاعدة} \times \text{الارتفاع}$.
2. المثلثات المتشابهة: إذا كانت زوايا المثلثين متساوية، فنسب الأضلاع متناسبة.

الآن دعنا نبدأ في حل المسألة:

نعلم أن مساحة المثلث $ABC$ هي $X$ ومساحة المثلث $CEF$ هي $6$ وحدات مربعة.

أولاً، لنجد العلاقة بين مساحة المثلث $ABC$ ومساحة المثلث $CEF$.
نعرف أن نقطتي $E$ و $F$ هما منتصفي الضلعين $AC$ و $AB$ على التوالي. ونعلم أن نقطة $C$ تقع على ضلع $EF$ وهو منتصف ضلع $AB$.

بالتالي، المثلث $ABC$ متشابه مع المثلث $AEF$ (لأن لدينا زوايا متساوية).
إذاً نسب المساحات هي متناسبة مع مربعات أضلاع المثلثين:
$\frac{\text{مساحة} \: \triangle ABC}{\text{مساحة} \: \triangle AEF} = \left( \frac{AB}{AE} \right)^2$

ومن المعطيات، نعرف أن نقطتي $E$ و $F$ هما منتصفي الضلعين $AC$ و $AB$ على التوالي، لذا $AE = EF = \frac{1}{2} AB$.
ونعرف أن $CE = \frac{1}{2} AC$ و $CF = \frac{1}{2} AB$.

بالتالي، نستطيع تعويض قيمة $AE$ و $CF$ في العلاقة أعلاه لنجد العلاقة بين $X$ و $6$:
$\frac{X}{6} = \left( \frac{\frac{1}{2} AB}{\frac{1}{2} AB} \right)^2$
$\frac{X}{6} = 1^2$
$X = 6 \times 1$
$X = 6$

إذاً، قيمة المتغير $X$ هي $6$ وحدات مربعة.