حل مسألة: مثلث قائم الزاوية ودائرة (مسألة رياضيات)

نعطي مثلثًا قائم الزاوية ABC، حيث يكون الزاوية B هو الزاوية القائمة. نعلم أن الدائرة التي قطرها هو الضلع BC تلتقي بالضلع AC عند النقطة D. الآن، سنقوم بحساب قيمة BD.

لحل هذه المسألة، نبدأ بحساب مساحة المثلث ABC. نعلم أن المساحة يمكن حسابها بالنسبة لهذا المثلث بواسطة الصيغة التالية:
$\text{مساحة المثلث} = \frac{1}{2} \times \text{قاعدة} \times \text{ارتفاع}$

حيث أن قاعدة المثلث هي الضلع AC والارتفاع هو الضلع BC. لذا:
$150 = \frac{1}{2} \times 25 \times BC$

نقوم بحساب قيمة BC:
$150 = \frac{25}{2} \times BC$

$BC = \frac{150 \times 2}{25}$

$BC = 12$

الآن، نعلم أن نقطة D هي نقطة على الضلع AC حيث تلتقي مع الدائرة التي قطرها هو BC. لذا، نقوم بحساب الضلع AD بواسطة القاعدة البيثاغورية في المثلث ADC:
$AD^2 + CD^2 = AC^2$

نعلم أن CD تكون نصف طول BC لأن D هي نقطة على الدائرة وقطرها هو BC. لذا، CD = BC/2.
$AD^2 + \left(\frac{BC}{2}\right)^2 = AC^2$

$AD^2 + 6^2 = 25^2$

$AD^2 + 36 = 625$

$AD^2 = 589$

$AD = \sqrt{589}$

الآن، نعلم أن BD هو القطر الآخر للدائرة، وهو يقسمها إلى نصفين. لذا، نحسب BD:
$BD = \frac{BC}{2}$

$BD = \frac{12}{2}$

$BD = 6$

إذاً، قيمة BD هي 6.

لحل هذه المسألة، بدأنا بتحديد مساحة المثلث ABC باستخدام الصيغة:
$\text{مساحة المثلث} = \frac{1}{2} \times \text{قاعدة} \times \text{ارتفاع}$

حيث أن المثلث ABC هو مثلث قائم الزاوية، وقمنا بتعيين القاعدة إلى الضلع AC والارتفاع إلى الضلع BC. هذا الاستخدام الصحيح للصيغة يعتمد على الخاصية الأساسية للمثلث القائم الزاوية.

ثم استخدمنا قاعدة بيثاغورس لحساب طول الضلع AD في المثلث ADC:
$AD^2 + CD^2 = AC^2$

وقد قمنا بتعويض قيم الأضلاع المعروفة في المعادلة، حيث أن CD هي نصف قطر الدائرة وتمثل نصف طول BC.

بعد ذلك، حسبنا قيمة AD وكانت الناتجة هي:
$AD = \sqrt{589}$

أخذنا في اعتبارنا أن BD هو القطر الآخر للدائرة ويقسمها إلى نصفين. لذلك، حسبنا قيمة BD ببساطة كنصف طول BC:
$BD = \frac{BC}{2}$

وبتعويض قيمة BC التي حسبناها من المعلومات الأولى في المسألة، وهي 12، حصلنا على:
$BD = 6$

القوانين المستخدمة في الحل هي:

1. صيغة مساحة المثلث:
   $\text{مساحة المثلث} = \frac{1}{2} \times \text{القاعدة} \times \text{الارتفاع}$

2. قاعدة بيثاغورس:
   $c^2 = a^2 + b^2$

حيث أن:

• $c$ هو الضلع الذي يكون مقابل الزاوية القائمة في المثلث.
• $a$ و $b$ هما الضلعين الآخرين في المثلث.

3. نصف القطر:
   إذا كانت $BD$ هي نصف قطر الدائرة، فإنه يقسم الدائرة إلى نصفين.

تم استخدام هذه القوانين بشكل صحيح للتوصل إلى الحل النهائي.