حل مسألة: متوسط أعداد فردية متتالية

متوسط خمسة أعداد فردية متتالية هو 13. ما هي النسبة المئوية للعدد b مقارنة بالعدد c؟

حل المسألة:

لنمثل الأعداد الفردية المتتالية بـ a، b، c، d، و e. يكون المتوسط الحسابي لهذه الأعداد هو (a + b + c + d + e) / 5، ووفقًا للمعطيات، يُعلم أن هذا المتوسط يساوي 13.

إذاً:

$\frac{a + b + c + d + e}{5} = 13$

نعلم أن هذه الأعداد هي فردية متتالية، وبالتالي يمكننا التعبير عنها كالتالي:

$a = c – 4k$
$b = c – 2k$
$d = c + 2k$
$e = c + 4k$

حيث k هو عامل التباين بين الأعداد.

الآن، نستخدم هذه القيم في المعادلة الأولى:

$\frac{(c – 4k) + (c – 2k) + c + (c + 2k) + (c + 4k)}{5} = 13$

نجمع الأعداد معًا ونحل المعادلة:

$5c = 65$

$c = 13$

الآن نعلم قيمة c، وبالتالي يمكننا حساب النسبة المئوية لـ b مقارنةً بـ c:

$\text{النسبة المئوية} = \frac{b}{c} \times 100 = \frac{(c – 2k)}{c} \times 100$

إذاً، نحتاج إلى معرفة قيمة k لحساب النسبة المئوية بدقة، وهي تعتمد على تكوين الأعداد الفردية المتتالية.

بالطبع، دعونا نوسع على حل المسألة ونستخدم بعض القوانين الرياضية لتسهيل الحسابات.

القانون الأول الذي سنستخدمه هو معرفة المتوسط الحسابي، والذي يعبر عن العلاقة بين مجموع الأعداد وعددها. في حالتنا، يكون المتوسط الحسابي لخمسة أعداد هو مجموعها مقسوما على عددها:

$\text{المتوسط} = \frac{a + b + c + d + e}{5}$

والذي وفقًا للمعطيات يساوي 13.

القانون الثاني الذي سنستخدمه هو تعبير الأعداد الفردية المتتالية. إذا كان لدينا عدد فردي مثل c، يمكننا التعبير عن الأعداد الفردية السابقة واللاحقة باستخدام عامل التباين k. لدينا:

$a = c – 4k$
$b = c – 2k$
$d = c + 2k$
$e = c + 4k$

حيث k هو الفارق بين الأعداد.

الآن، نقوم بتجميع هذه المعلومات وحل المعادلة:

$\frac{(c – 4k) + (c – 2k) + c + (c + 2k) + (c + 4k)}{5} = 13$

نقوم بجمع الأعداد ونحل للحصول على قيمة c.

$\frac{5c}{5} = 13$

$c = 13$

الآن نعلم قيمة c، وبالتالي يمكننا حساب قيمة الأعداد الفردية الأخرى وتطبيق القانون الثاني.

لحساب النسبة المئوية لـ b مقارنةً بـ c، نستخدم القانون:

$\text{النسبة المئوية} = \frac{b}{c} \times 100 = \frac{(c – 2k)}{c} \times 100$

ونحتاج إلى قيمة k لتحديد النسبة المئوية بشكل دقيق، والتي تعتمد على تكوين الأعداد الفردية المتتالية.