مسائل رياضيات

حل مسألة: قيمة معامل المعادلة التربيعية (مسألة رياضيات)

اخر تحديث 29/01/2024
0

المعادلة التربيعية هي $\frac{3}{2}x^2 + 11x + c = 0$، وعندما تكون الجذور هي $x = \frac{-11 \pm \sqrt{7}}{3}$، فإن الهدف هو تحديد قيمة $c$.

لنستخدم خاصية الجذور في المعادلة التربيعية، فنعلم أن مجموع الجذور مساوي للنسبة بين معامل ال $x$ في المعادلة مع ال $-$، أي:

مواضيع ذات صلة

مجموع الجذور=−ba\text{مجموع الجذور} = \frac{-b}{a}

حيث $a$ هو المعامل التي تقع أمام $x^2$ و $b$ هو المعامل التي تقع أمام $x$.

إذاً، في هذه المعادلة، $a = \frac{3}{2}$ و $b = 11$، لذا:

−11+73+−11−73=−1132\frac{-11 + \sqrt{7}}{3} + \frac{-11 – \sqrt{7}}{3} = \frac{-11}{\frac{3}{2}}

الآن، نقوم بجمع الجذور مع بعضها البعض:

−11+7−11−73=−223\frac{-11 + \sqrt{7} – 11 – \sqrt{7}}{3} = \frac{-22}{3}

وهو يساوي:

−223-\frac{22}{3}

من هذه المعادلة، يمكننا أن نفسر أن:

c=(−223)×32c = \left( -\frac{22}{3} \right) \times \frac{3}{2}

c=−22×12c = -22 \times \frac{1}{2}

c=−11c = -11

لذا، قيمة $c$ هي $-11$.

المزيد من المعلومات

لحل المسألة، نستخدم خصائص المعادلات التربيعية والعلاقات الأساسية في الجبر. الهدف هو تحديد قيمة المعامل $c$ في المعادلة التربيعية $\frac{3}{2}x^2 + 11x + c = 0$ عندما تكون الجذور معروفة.

القوانين المستخدمة:

  1. صيغة حل المعادلة التربيعية: لمعادلة من الشكل $ax^2 + bx + c = 0$، الجذرين يمكن حسابهما باستخدام الصيغة التالية:
    x=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}

  2. مجموع وضرب الجذور: إذا كانت $r_1$ و $r_2$ هما الجذور للمعادلة التربيعية $ax^2 + bx + c = 0$، فإن:
    r1+r2=−bar_1 + r_2 = -\frac{b}{a}
    r1×r2=car_1 \times r_2 = \frac{c}{a}

الآن، لنقوم بحل المسألة:

  1. حساب مجموع الجذور:
    مجموع الجذور=−ba\text{مجموع الجذور} = \frac{-b}{a}
    مجموع الجذور=−1132=−223\text{مجموع الجذور} = \frac{-11}{\frac{3}{2}} = -\frac{22}{3}

  2. معرفة قيمة $c$:
    معرفة مجموع الجذور يعني أن:
    r1+r2=−223r_1 + r_2 = -\frac{22}{3}
    ومعرفة معامل $a$ يعني أن $a = \frac{3}{2}$.

باستخدام العلاقة الثانية لمجموع الجذور، نعرف أن:
r1×r2=car_1 \times r_2 = \frac{c}{a}
r1×r2=c32=2c3r_1 \times r_2 = \frac{c}{\frac{3}{2}} = \frac{2c}{3}

بالنظر إلى القيم المعروفة، نعرف أن:
r1×r2=ca=c32=c32=2c3r_1 \times r_2 = \frac{c}{a} = \frac{c}{\frac{3}{2}} = \frac{c}{\frac{3}{2}} = \frac{2c}{3}
2c3=ca=−11×−73=11×73\frac{2c}{3} = \frac{c}{a} = \frac{-11 \times -\sqrt{7}}{3} = \frac{11 \times \sqrt{7}}{3}

الآن، بمعرفة قيمة $r_1 \times r_2$، يمكننا حساب $c$:
11×73=2c3\frac{11 \times \sqrt{7}}{3} = \frac{2c}{3}
11×7=2c11 \times \sqrt{7} = 2c
c=11×72c = \frac{11 \times \sqrt{7}}{2}

إذاً، القيمة المطلوبة ل $c$ هي $\frac{11 \times \sqrt{7}}{2}$.

اخر تحديث 29/01/2024
0