حل مسألة: قيمة i^22 + i^222 (مسألة رياضيات)

قم بتحديد قيمة التعبير التالي: $i^{22} + i^{222}$ حينما يُمثل $i$ الوحدة الخيالية.

لحل هذه المسألة، يمكننا استخدام الخاصية الدورية لقيمة $i$. يعرف أن $i^2 = -1$، ونستطيع استنتاج بأن $i^4 = 1$، وهكذا تتكرر القيم كل مرة تزيد عن 4.

نريد حساب قيمة $i^{22} + i^{222}$. لفهم كيفية حساب هذا، يمكننا تقسيم الأس الذي يزيد عن 4 إلى جزئين: الجزء الذي يتبقى عند قسمه على 4 والجزء الذي يتكرر كل 4.

لنقسم كلاً من الأسين إلى أجزاء:

1. $i^{22} = (i^4)^5 \times i^2$
2. $i^{222} = (i^4)^{55} \times i^2$

الجزء الأول في كلتا الحالتين $(i^4)^{n}$ يساوي 1، لأن $i^4 = 1$، وبالتالي يصبح لدينا:

1. $i^{22} = i^2 = -1$
2. $i^{222} = i^2 = -1$

الآن، نجمع النتيجتين:

$-1 + (-1) = -2$

إذاً، قيمة $i^{22} + i^{222}$ تكون -2.

بالطبع، سأقدم لك تفاصيل أكثر حول حل المسألة وسأراجع القوانين التي تم استخدامها.

المعطيات: $i^{22} + i^{222}$ حيث $i$ هي الوحدة الخيالية.

لحل هذه المسألة، يُستخدم القانون الأساسي للوحدة الخيالية $i$، الذي يُعرف بأن $i^2 = -1$. هذا يعني أن $i^4 = (i^2)^2 = (-1)^2 = 1$. وهذا القانون يعتبر أساسًا للحسابات المتعلقة بالأعداد الخيالية.

الآن، لفهم كيف نحل المعادلة $i^{22} + i^{222}$، نستخدم القاعدة الدورية للأس: إذا كان $a$ هو أي عدد صحيح، فإن $i^{4a + b} = (i^4)^a \times i^b$ حيث $0 \leq b < 4$.

نقوم بتقسيم الأسين إلى أجزاء:

1. $i^{22} = (i^4)^5 \times i^2$، حيث $b = 2$
2. $i^{222} = (i^4)^{55} \times i^2$، حيث $b = 2$

الجزء $(i^4)^{n}$ يكون دائمًا 1، لأن $i^4 = 1$ وأي عدد حقيقي مرفوع للقوة 0 يكون 1. لذلك:

1. $i^{22} = i^2 = -1$
2. $i^{222} = i^2 = -1$

الآن، نجمع النتائج:

$-1 + (-1) = -2$

إذًا، القيمة النهائية للتعبير $i^{22} + i^{222}$ هي -2.