حل مسألة: قوانين الأس واللوغاريتم (مسألة رياضيات)

إذا كان $x^{2y} = 4$ و $x = X$، فما قيمة $y$؟

إذا كانت الإجابة على السؤال السابق هي $\frac{1}{2}$، فما هي قيمة المتغير المجهول $X$؟

الحل:

لنبدأ بحل المعادلة $x^{2y} = 4$ للعثور على قيمة $y$.

نعلم أن $x = X$، لذا يمكننا استبدال $x$ بـ $X$ في المعادلة للحصول على:

$X^{2y} = 4$

نريد حل المعادلة للعثور على قيمة $y$، والتي يُعطينا العلاقة بين $x$ و $y$ عندما تكون $x = X$.

لحل المعادلة، نقوم بتطبيق اللوغاريتم الطبيعي على الطرفين:

$\ln(X^{2y}) = \ln(4)$

نستخدم خاصية اللوغاريتم لتقديم القوة كمضاعف:

$2y \cdot \ln(X) = \ln(4)$

الآن، نقوم بحل المعادلة لـ $y$، نقسم كل طرف على $2 \ln(X)$:

$y = \frac{\ln(4)}{2\ln(X)}$

الآن، إذا كانت قيمة $y$ هي $\frac{1}{2}$، فإننا نحل المعادلة التالية:

$\frac{1}{2} = \frac{\ln(4)}{2\ln(X)}$

لحل هذه المعادلة لـ $X$، نقوم بتعويض $\frac{1}{2}$ في الجهة اليمنى ونقوم بتبسيط الجهة اليسرى:

$1 = \frac{\ln(4)}{\ln(X)}$

الآن، نضرب كل جانب بـ $\ln(X)$ للتخلص من المقام في الجهة اليمنى:

$\ln(X) = \ln(4)$

ثم، نقوم بتطبيق الدالة العكسية للوغاريتم، وهي الأساس الطبيعي، للحصول على قيمة $X$ بمفرده:

$X = e^{\ln(4)}$

$X = 4$

إذا، قيمة المتغير المجهول $X$ هي $4$.

لحل المسألة المعطاة، نستخدم القوانين والمفاهيم الرياضية التالية:

1. قانون أساسي الأعداد: نعلم أن $x^{2y} = 4$، وهذا يشير إلى أن قوة $x$ مضاعفة متساوية للعدد 4.

2. خاصية اللوغاريتم: نستخدم خاصية اللوغاريتم للتحول من التربيع إلى الضرب. في حالتنا، نستخدم اللوغاريتم الطبيعي.

3. قاعدة اللوغاريتم: نستخدم قاعدة اللوغاريتم لتبسيط تعبيرات اللوغاريتم.

الآن، سنبدأ بالحل بالتفصيل:

1. نبدأ بتطبيق القاعدة الأساسية للأعداد، حيث نعلم أن $x^{2y} = 4$.

2. نستخدم القوانين اللوغاريتمية لتحويل التعبير إلى شكل يمكن حسابه بسهولة. نأخذ لوغاريتم الطبيعي لكلا الجانبين من المعادلة:

   $\ln(x^{2y}) = \ln(4)$

3. باستخدام خاصية اللوغاريتم، يمكننا تحويل التعبير إلى:

   $2y \cdot \ln(x) = \ln(4)$

4. الآن، نقوم بحل المعادلة للعثور على قيمة $y$، نقسم الطرفين على $2 \ln(x)$:

   $y = \frac{\ln(4)}{2\ln(x)}$

5. إذا كانت قيمة $y$ تساوي $\frac{1}{2}$، فإننا نستخدم هذه المعلومة لحل المعادلة الناتجة عن الخطوة السابقة:

   $\frac{1}{2} = \frac{\ln(4)}{2\ln(x)}$

6. نقوم بتبسيط الجهة اليسرى للمعادلة إلى $1$، ثم نقوم بتحليل الجهة اليمنى للمعادلة:

   $1 = \frac{\ln(4)}{\ln(x)}$

7. نضرب كلا الجانبين بـ $\ln(x)$ للتخلص من المقام في الجهة اليمنى:

   $\ln(x) = \ln(4)$

8. نطبق الدالة العكسية للوغاريتم (الأساس الطبيعي) للحصول على قيمة $x$ بمفرده:

   $x = e^{\ln(4)}$

   ومن هنا نحصل على $x = 4$.

باختصار، قمنا باستخدام الأسس الأساسية للجبر وخواص اللوغاريتم لحل المسألة.