حل مسألة: طول حبل الكلب (مسألة رياضيات)

الكلب مربوط بشجرة بواسطة حبل نايلون طويل. إذا جرى الكلب من الجهة الشمالية الصرفة للشجرة إلى الجهة الجنوبية الصرفة للشجرة مع تمديد الحبل بكامل طوله في جميع الأوقات، وجرى الكلب لمسافة تقدر بحوالي 30 قدمًا، فما هي الطول التقريبي للحبل النايلون بالأقدام؟

لحل هذه المسألة، يمكننا استخدام مفهوم المثلث. إن الحبل يشكل جزءاً من مثلث قائم الزاوية، حيث يكون طول الحبل هو الوتر، والمسافة التي جرى فيها الكلب تشكل إحدى أضلاع المثلث.

نفترض أن الحبل يمثل الوتر، والمسافة التي جرى فيها الكلب تمثل إحدى الأضلاع القائمة للمثلث. لنكن أكثر دقة، لنفترض أن الزاوية بين الحبل والأرض هي زاوية الارتفاع.

إذاً، نستخدم دالة الجيب لحساب الطول التقريبي للحبل بالاعتماد على العلاقة:

$\sin(\theta) = \frac{\text{الضلع المقابل للزاوية}}{\text{الوتر}}$

حيث أن $\theta$ هي الزاوية بين الحبل والأرض. وفي هذه الحالة، نعلم أن:

$\sin(\theta) = \frac{\text{المسافة التي جرى فيها الكلب}}{\text{الوتر}}$

نقوم بتعويض القيم المعروفة:

$\sin(\theta) = \frac{30}{\text{الوتر}}$

ثم نقوم بحساب قيمة الوتر:

$\text{الوتر} = \frac{30}{\sin(\theta)}$

لكن لا يوجد لدينا قيمة محددة للزاوية $\theta$. لحل هذا، نستخدم الخاصية التي تقول إن مجموع زوايا المثلث القائم الزاوية يكون دائما 90 درجة.

لدينا الزاوية بين الحبل والأرض ($\theta$) وزاوية الارتفاع ($90 – \theta$).

$\sin(90 – \theta) = \cos(\theta) = \frac{\text{الضلع المجاور للزاوية}}{\text{الوتر}}$

باستخدام نفس العلاقة:

$\cos(\theta) = \frac{\text{الضلع المجاور للزاوية}}{\text{الوتر}}$

نقوم بتعويض القيم:

$\cos(\theta) = \frac{\text{الضلع المجاور للزاوية}}{\frac{30}{\sin(\theta)}}$

لحل المعادلة للوتر:

$\text{الوتر} = \frac{\text{الضلع المجاور للزاوية}}{\cos(\theta)} \times \sin(\theta)$

نحتاج إلى معرفة الضلع المجاور للزاوية لحساب الوتر. ولكن نظراً لأن هذا المثلث هو مثلث قائم الزاوية، يكون الضلع المجاور للزاوية هو الضلع الآخر للزاوية القائمة.

$\text{الضلع المجاور للزاوية} = \text{الضلع الآخر للزاوية القائمة}$

نقوم بتعويض هذه القيمة في المعادلة:

$\text{الوتر} = \frac{\text{الضلع الآخر للزاوية القائمة}}{\cos(\theta)} \times \sin(\theta)$

هذه المعادلة تمكننا من حساب الوتر (أي الحبل) بناءً على الزاوية القائمة والضلع الآخر لها. ولكن بسبب عدم توفر قيم محددة، يصعب إعطاء إجابة نهائية للطول الدقيق للحبل. إلا أن العلاقة أعلاه توفر طريقة عامة لحساب الطول بناءً على البيانات المعطاة.

لحل هذه المسألة، سنعتمد على مفهوم المثلث القائم الزاوي. في هذا السياق، سنستخدم القوانين التالية:

1. قانون الجيب (Sine Law):
   $\sin(\theta) = \frac{\text{الضلع المقابل للزاوية}}{\text{الوتر}}$

2. قانون الجيب للزاوية القائمة (Cosine Law for Right Triangle):
   $\cos(\theta) = \frac{\text{الضلع المجاور للزاوية}}{\text{الوتر}}$

3. علاقة زاويتين متكاملتين:
   $\cos(\theta) = \sin(90 – \theta)$

الخطوات لحل المسألة:

1. تحديد الزوايا:
   نعلم أن الحبل يشكل جزءًا من مثلث قائم الزاوية. سنفترض أن الزاوية بين الحبل والأرض تكون $\theta$، وبالتالي زاوية الارتفاع هي $90 – \theta$.

2. استخدام قانون الجيب (Sine Law):
   $\sin(\theta) = \frac{\text{المسافة التي جرى فيها الكلب}}{\text{الوتر}}$
   حيث المسافة التي جرى فيها الكلب هي 30 قدمًا.

3. استخدام قانون الجيب للزاوية القائمة (Cosine Law for Right Triangle):
   $\cos(\theta) = \frac{\text{الضلع المجاور للزاوية}}{\text{الوتر}}$
   حيث الضلع المجاور للزاوية هو الضلع الآخر للزاوية القائمة.

4. استخدام علاقة زاويتين متكاملتين:
   $\cos(\theta) = \sin(90 – \theta)$
   هذه العلاقة تساعدنا في تعويض قيمة $\cos(\theta)$ في المعادلة.

5. حساب الوتر (الحبل):
   نستخدم المعادلة:
   $\text{الوتر} = \frac{\text{الضلع الآخر للزاوية القائمة}}{\cos(\theta)} \times \sin(\theta)$

6. توحيد القيم والحساب:
   قد نحتاج إلى توحيد الوحدات إذا كانت غير متناسبة.

7. الإجابة:
   بعد الحسابات، نحصل على القيمة التقريبية للوتر (الحبل)، وهي الإجابة على المسألة.

تذكير: بسبب عدم توفر القيم المحددة للزوايا، يتعذر إعطاء إجابة دقيقة، ولكن يتيح الحل العام استخدام هذه العلاقات لحساب الطول بناءً على البيانات المعطاة.