حل مسألة: ضرب الأعداد المركبة في الشكل القطبي (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:

نريد إيجاد قيمة موجبة لـ $t$ تحقق $ab = t – 2i$ عندما يكون $|a| = 2$ و $|b| = \sqrt{26}$.

الحل:

لنقم بتمثيل $a$ و $b$ في شكلهما القطبي:

لـ $a$:
$|a| = 2$
$\theta_a = \arccos\left(\frac{Re(a)}{|a|}\right) = \arccos\left(\frac{2}{2}\right) = \arccos(1) = 0$
$a = 2(\cos(0) + i\sin(0)) = 2$

لـ $b$:
$|b| = \sqrt{26}$
$\theta_b = \arccos\left(\frac{Re(b)}{|b|}\right) = \arccos\left(\frac{Re(b)}{\sqrt{26}}\right)$
$= \arccos\left(\frac{t}{\sqrt{26}}\right)$

الآن، نستخدم العلاقة $ab = t – 2i$ لحساب $t$:

$ab = (2)(\sqrt{26}\cos(\theta_b) + i\sqrt{26}\sin(\theta_b))$
$= 2\sqrt{26}\cos(\theta_b) + i(2\sqrt{26}\sin(\theta_b))$

ونعلم أنه:
$ab = t – 2i$

لذلك، نقارن الأجزاء الحقيقية والخيالية:
$t = 2\sqrt{26}\cos(\theta_b)$
$-2 = 2\sqrt{26}\sin(\theta_b)$

ومن العلاقة الثانية، نقوم بحساب قيمة $\theta_b$:
$\sin(\theta_b) = -\frac{1}{\sqrt{26}}$
$\theta_b = -\arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{26}}\right)$

الآن، نستخدم قيمة $\theta_b$ لحساب $t$:
$t = 2\sqrt{26}\cos\left(-\arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{26}}\right)\right)$

ونستخدم الهوية $\cos(-\theta) = \cos(\theta)$ لتبسيط المعادلة:
$t = 2\sqrt{26}\cos\left(\arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{26}}\right)\right)$

نستخدم الهوية التالية: $\sin^{-1}(x) = \cos^{-1}(\sqrt{1 – x^2})$
$t = 2\sqrt{26}\cos\left(\cos^{-1}\left(\sqrt{1 – \left(\frac{1}{\sqrt{26}}\right)^2}\right)\right)$
$= 2\sqrt{26}\cos\left(\cos^{-1}\left(\sqrt{1 – \frac{1}{26}}\right)\right)$
$= 2\sqrt{26}\cos\left(\cos^{-1}\left(\sqrt{\frac{25}{26}}\right)\right)$
$= 2\sqrt{26}\left(\frac{5}{\sqrt{26}}\right)$
$= 10$

لذا، القيمة الموجبة لـ $t$ التي تحقق الشرط المعطى هي $t = 10$.

في هذه المسألة، نتعامل مع الأعداد المركبة في شكلها القطبي. القطبية هي طريقة تمثيل الأعداد المركبة باستخدام القيمة المطلقة والزاوية. قبل أن نقوم بحل المسألة، دعونا نتذكر بعض القوانين والمفاهيم المهمة:

1. تمثيل الأعداد المركبة في الشكل القطبي:
   يتم تمثيل الأعداد المركبة في الشكل القطبي بواسطة القيمة المطلقة والزاوية. إذا كان $z$ عبارة عن عدد مركب، فإنه يمكن تمثيله كالتالي: $z = r(\cos \theta + i\sin \theta)$ حيث $r$ هو القيمة المطلقة (المسافة من الأصل) و $\theta$ هو الزاوية.

2. ضرب الأعداد المركبة في الشكل القطبي:
   عند ضرب اثنين من الأعداد المركبة في الشكل القطبي، يتم ضرب القيم المطلقة وجمع الزوايا.

3. الهوية الزاوية:
   عند العمل مع الأعداد المركبة في الشكل القطبي، نستخدم الهوية الزاوية لتبسيط التعابير، مثل $\cos(-\theta) = \cos(\theta)$ و $\sin(-\theta) = -\sin(\theta)$.

الآن، بعد تذكر هذه القوانين والمفاهيم، نحل المسألة:

1. نعرف أن $|a| = 2$ و $|b| = \sqrt{26}$.
2. نستخدم هذه المعلومات لتحديد $a$ و $b$ في شكلهما القطبي.
3. نستخدم العلاقة $ab = t – 2i$ للعثور على $t$، مع الأخذ في الاعتبار أننا بحاجة إلى جمع الأجزاء الحقيقية والخيالية للطرف الأيسر.
4. نستخدم الهوية الزاوية والتوابع المثلثية لتبسيط التعابير والعثور على القيمة النهائية لـ $t$.

بهذه الطريقة، نقوم بحساب $t$ بشكل دقيق ومفصل، مع استخدام القوانين الأساسية للأعداد المركبة في الشكل القطبي والتحويلات بين الأشكال المختلفة.