حل مسألة: زمن وصول كرة إلى الأرض (مسألة رياضيات)

المسألة:
تُلقي كرة من ارتفاع أولي يبلغ 160 قدمًا فوق الأرض بسرعة 24 قدمًا في الثانية. المعادلة $h = -16t^2 – 24t + 160$ تمثل ارتفاع الكرة بالأقدام. ما هو عدد الثواني التي ستستغرقها الكرة لتصل إلى الأرض؟ قدم إجابتك كعدد عشري.

الحل:
نحتاج إلى حل المعادلة التي تمثل ارتفاع الكرة $h$ بالنسبة للزمن $t$ لمعرفة متى ستصل الكرة إلى الأرض. المعادلة هي:

$h = -16t^2 – 24t + 160$

حيث:

• $h$ هو ارتفاع الكرة (بالقدم).
• $t$ هو الزمن (بالثواني).

عندما تصل الكرة إلى الأرض، فإن ارتفاعها $h$ يكون صفرًا. لذلك، نقوم بوضع $h = 0$ في المعادلة وحلها للعثور على الزمن $t$ الذي يمثل وقت وصول الكرة إلى الأرض.

$0 = -16t^2 – 24t + 160$

لحل المعادلة المربعة، يمكننا استخدام الصيغة التالية لحساب الجذرين:

$t = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 – 4ac}}}}{{2a}}$

حيث:

• $a = -16$، $b = -24$، و $c = 160$ هي معاملات المعادلة الثانوية.

بعد استبدال القيم، نحصل على:

$t = \frac{{-(-24) \pm \sqrt{{(-24)^2 – 4 \cdot (-16) \cdot 160}}}}{{2 \cdot (-16)}}$

$t = \frac{{24 \pm \sqrt{{576 + 10240}}}}{{-32}}$

$t = \frac{{24 \pm \sqrt{{10816}}}}{{-32}}$

$t = \frac{{24 \pm 104}}{{-32}}$

الآن نقوم بحساب الجذور:

$t_1 = \frac{{24 + 104}}{{-32}} = \frac{{128}}{{-32}} = -4$
$t_2 = \frac{{24 – 104}}{{-32}} = \frac{{-80}}{{-32}} = 2.5$

نحن لا نستطيع أن نأخذ القيمة السالبة للزمن لأنها لا تمثل الواقع، لذلك نستبعدها. القيمة الإيجابية للزمن هي 2.5 ثانية.

لذلك، ستستغرق الكرة 2.5 ثانية لتصل إلى الأرض.

في هذه المسألة، نستخدم القانون الأساسي للحركة القوى لجسم يتحرك بحركة موازية للأرض تحت تأثير الجاذبية الأرضية. القانون ينص على أن ارتفاع الجسم فوق سطح الأرض يمكن تمثيله بمعادلة الحركة التالية:

$h = -16t^2 – v_0t + h_0$

حيث:

• $h$ هو الارتفاع (بالقدم) للكرة في الزمن $t$ (بالثواني).
• $t$ هو الزمن (بالثواني).
• $v_0$ هو السرعة الأولية (بالقدم/الثانية).
• $h_0$ هو الارتفاع الأولي (بالقدم).

في هذه المسألة:

• $h_0 = 160$ قدم (الارتفاع الأولي).
• $v_0 = -24$ قدم/ثانية (السرعة الأولية نحو الأسفل بسبب إلقاء الكرة).

نحتاج أولاً إلى وضع $h = 0$ لأننا نبحث عن الزمن الذي تصل فيه الكرة إلى الأرض. يصبح الأمر كالتالي:

$0 = -16t^2 – 24t + 160$

نقوم بحل المعادلة المربعة باستخدام الصيغة العامة لجذرين:

$t = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 – 4ac}}}}{{2a}}$

حيث:

• $a = -16$، $b = -24$، و $c = 160$ هي معاملات المعادلة الثانوية.

بعد استبدال القيم، نحصل على:

$t = \frac{{-(-24) \pm \sqrt{{(-24)^2 – 4 \cdot (-16) \cdot 160}}}}{{2 \cdot (-16)}}$

$t = \frac{{24 \pm \sqrt{{576 + 10240}}}}{{-32}}$

$t = \frac{{24 \pm \sqrt{{10816}}}}{{-32}}$

$t = \frac{{24 \pm 104}}{{-32}}$

حل المعادلة يعطينا قيمتين للزمن:

• $t_1 = -4$ ثانية (تم رفضها لأن الزمن لا يمكن أن يكون سالباً).
• $t_2 = 2.5$ ثانية.

القانون المستخدم هنا هو قانون الحركة السقوطية، الذي يقول إنه في الوقت $t$، يكون ارتفاع الجسم $h$ يساوي ارتفاعه الأولي $h_0$ زائد التغير في المسافة الناتج عن السرعة الأولية وتأثير الجاذبية على الجسم.