حل مسألة: زمن تجاوز القطار (مسألة رياضيات)

المسألة:
قطار طوله 110 مترًا يسير بسرعة 82 كيلومترًا في الساعة. في كم من الوقت سيتجاوز القطار رجل يجري بسرعة 6 كيلومترات في الساعة في الاتجاه المعاكس لاتجاه سير القطار؟

الحل:
لنحسب السرعة النسبية بين القطار والرجل. السرعة النسبية هي جمع سرعتي القطار والرجل إذا كانا يتحركان في اتجاهين معاكسين.

سرعة القطار = 82 كم/س = 82000 م/س (تحويل السرعة من كم/س إلى م/س)
سرعة الرجل = 6 كم/س = 6000 م/س (تحويل السرعة من كم/س إلى م/س)

السرعة النسبية = سرعة القطار + سرعة الرجل
السرعة النسبية = 82000 + 6000 = 88000 م/س

الآن، نستخدم الصيغة التالية لحساب الزمن الذي يستغرقه القطار لتجاوز الرجل:

$\text{المسافة} = \text{السرعة} \times \text{الزمن}$

نعوض في الصيغة:

$110 = 88000 \times \text{الزمن}$

نحسب الزمن:

$\text{الزمن} = \frac{110}{88000}$

الآن، نقوم بحساب هذه القيمة:

$\text{الزمن} = \frac{110}{88000} \approx 0.00125$ ساعة

لكن نحتاج تحويل الزمن من ساعة إلى ثواني للحصول على إجابة دقيقة:

$\text{الزمن (بالثواني)} = 0.00125 \times 3600$

الآن، نقوم بحساب هذه القيمة:

$\text{الزمن (بالثواني)} = 0.00125 \times 3600 \approx 4.5$ ثانية

إذاً، يستغرق القطار حوالي 4.5 ثانية لتجاوز الرجل الجاري في الاتجاه المعاكس.

الحل:

لحساب الزمن الذي يحتاجه القطار لتجاوز الرجل الجاري في الاتجاه المعاكس، سنعتمد على العلاقة بين المسافة والسرعة والزمن. نستخدم المعادلة التالية:

$\text{المسافة} = \text{السرعة} \times \text{الزمن}$

حيث:

• المسافة هي الفارق بين القطار والرجل، وهي مسافة القطار الذي يجب أن يقطع ليتجاوز الرجل.
• السرعة هي السرعة النسبية بين القطار والرجل، وهي مجموع سرعتيهما.
• الزمن هو المتغير الذي نريد حسابه.

بدأنا بحساب السرعة النسبية بجمع سرعتي القطار والرجل. ثم استخدمنا المعادلة الأساسية للحركة لحساب الزمن، حيث تكون المسافة معروفة (110 متر) والسرعة معروفة (سرعة النسبية).

تمثل المعادلة الرئيسية للحركة العلاقة بين المسافة (d) والسرعة (v) والزمن (t) كالتالي:

$d = v \times t$

نعيد ترتيب المعادلة لحساب الزمن:

$t = \frac{d}{v}$

نقوم بتعويض القيم المعروفة:

$t = \frac{110}{88000}$

ثم قمنا بتحويل الزمن من ساعة إلى ثواني بضربه في 3600 ثانية (عدد الثواني في ساعة) للحصول على قيمة دقيقة للزمن.

القوانين المستخدمة:

1. العلاقة بين المسافة والسرعة والزمن:
   $d = v \times t$

2. قانون حركة المستقيمة:
   ينطبق على الحالة الحركية للقطار والرجل على حد سواء، حيث تكون المسافة المقطوعة متناسبة مع الزمن عندما يكون السرعة ثابتة.

3. تحويل الوحدات:
   قمنا بتحويل السرعة من كيلومتر في الساعة إلى متر في الثانية لتناسب وحدات المسافة (متر) والزمن (ثانية).