حل مسألة رياضية: مجموع وفارق مربعين (مسألة رياضيات)

مجموع رقمين هو 6، وفارق مربعيهما هو 12. ما هو الفارق الإيجابي بين الرقمين؟

لنفترض أن الرقمين يمثلان بالتتالي $x$ و $y$. بناءً على الشروط المعطاة، لدينا العلاقات التالية:

نحتاج إلى حل هذين المعادلتين معًا للعثور على قيم $x$ و $y$ التي تلبي كلتا الشروط.

لحل النظام من المعادلات، يمكننا استخدام تقنيات حسابية مثل استبدال أو إضافة أو طرح المعادلات. في هذه الحالة، يمكننا استخدام الطريقة التالية:

من المعادلة (1)، نستنتج أن $y = 6 – x$، ثم نستخدم هذا القيمة في المعادلة (2):

الآن، بمعرفة $x$، يمكننا حساب قيمة $y$:

بالتالي، الأرقام الاثنين هي 4 و 2.

الفارق الإيجابي بين الرقمين هو $4 – 2 = 2$.

لحل المسألة المعطاة، نحتاج إلى استخدام بعض القوانين والمفاهيم الرياضية. دعونا نحل المسألة خطوة بخطوة مع شرح للقوانين المستخدمة:

المسألة تطلب منا العثور على الفارق الإيجابي بين رقمين عندما يكون مجموعهما يساوي 6 وفارق مربعيهما يساوي 12.

الخطوة الأولى:
لنفترض أن الرقمين هما $x$ و $y$. وبما أن مجموعهما يساوي 6، فإننا نكتب المعادلة الأولى كالتالي:

$x + y = 6$

الخطوة الثانية:
وبما أن فارق مربعيهما يساوي 12، فإننا نكتب المعادلة الثانية كالتالي:

$x^2 – y^2 = 12$

الخطوة الثالثة:
نحاول الآن حل هذا النظام من المعادلات. نستخدم قوانين الجبر والحساب لتبسيط وحل المعادلات.

نقوم بتطبيق قانون الجبر في المعادلة الثانية باستخدام الفرق في مربعي الرقمين ($x^2 – y^2$)، الذي يُعبّر بشكل مفيد عن طريق فرق مربعي اختلافين ($(x – y)(x + y)$):

$x^2 – y^2 = (x – y)(x + y) = 12$

الخطوة الرابعة:
الآن لدينا معادلتان:

$x + y = 6$
$(x – y)(x + y) = 12$

وبما أننا نعرف $x + y$ من المعادلة الأولى، يمكننا استخدام هذه المعلومة لحل المعادلة الثانية.

الخطوة الخامسة:
نستبدل $x + y$ في المعادلة الثانية بالقيمة 6 التي حسبناها من المعادلة الأولى:

$(x – y)(6) = 12$

الخطوة السادسة:
نحل المعادلة الجديدة للعثور على $x$ و $y$.

$(x – y) = \frac{12}{6} = 2$

الخطوة السابعة:
الآن، لدينا نظامًا من المعادلات يتكون من المعادلة الأولى $x + y = 6$ والمعادلة الثانية $x – y = 2$. يمكن حل هذا النظام باستخدام أي من الطرق المعروفة لحل المعادلات الخطية.

الخطوة الثامنة:
بعد حل النظام، نجد $x = 4$ و $y = 2$.

الخطوة التاسعة:
نحسب الفارق الإيجابي بين الرقمين: $4 – 2 = 2$.

هذه الخطوات تُمثّل العملية الكاملة لحل المسألة باستخدام القوانين الرياضية المناسبة.