مسائل رياضيات

حل مسألة رياضية: قوانين المصفوفات والجبر (مسألة رياضيات)

اخر تحديث 23/12/2023
0

نعتبر $\mathbf{M}$ مصفوفة و $\mathbf{v}$ و $\mathbf{w}$ هما متجهين، حيث:
Mv=(X−5)\mathbf{M} \mathbf{v} = \begin{pmatrix} X \\ -5 \end{pmatrix}
و
Mw=(72).\mathbf{M} \mathbf{w} = \begin{pmatrix} 7 \\ 2 \end{pmatrix}.

المطلوب حساب $\mathbf{M} (-2 \mathbf{v} + \mathbf{w})$. لنقم أولاً بحساب $-2\mathbf{v} + \mathbf{w}$:

مواضيع ذات صلة

−2v+w=−2(X−5)+(72).-2 \mathbf{v} + \mathbf{w} = -2 \begin{pmatrix} X \\ -5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 7 \\ 2 \end{pmatrix}.

ضرب $-2$ في كل عناصر $\mathbf{v}$ يعطينا:
−2v=(−2X10).-2 \mathbf{v} = \begin{pmatrix} -2X \\ 10 \end{pmatrix}.

ثم نقوم بجمع هذا المتجه مع $\mathbf{w}$:
−2v+w=(−2X10)+(72).-2 \mathbf{v} + \mathbf{w} = \begin{pmatrix} -2X \\ 10 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 7 \\ 2 \end{pmatrix}.

الجمع يؤدي إلى:
−2v+w=(−2X+712).-2 \mathbf{v} + \mathbf{w} = \begin{pmatrix} -2X + 7 \\ 12 \end{pmatrix}.

الآن نقوم بضرب هذا المتجه في $\mathbf{M}$:

M(−2v+w)=M(−2X+712).\mathbf{M} (-2 \mathbf{v} + \mathbf{w}) = \mathbf{M} \begin{pmatrix} -2X + 7 \\ 12 \end{pmatrix}.

للقيام بالضرب، نستخدم خاصية القوانين الجبرية للمصفوفات، وبما أننا نعلم أن
Mv=(X−5)\mathbf{M} \mathbf{v} = \begin{pmatrix} X \\ -5 \end{pmatrix}
و
Mw=(72),\mathbf{M} \mathbf{w} = \begin{pmatrix} 7 \\ 2 \end{pmatrix},
نستخدم هذه المعلومات للحصول على:
M(−2v+w)=M(−2X+712)=(X−5)+(72).\mathbf{M} (-2 \mathbf{v} + \mathbf{w}) = \mathbf{M} \begin{pmatrix} -2X + 7 \\ 12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} X \\ -5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 7 \\ 2 \end{pmatrix}.

الجمع يؤدي إلى:
M(−2v+w)=(X+7−3).\mathbf{M} (-2 \mathbf{v} + \mathbf{w}) = \begin{pmatrix} X + 7 \\ -3 \end{pmatrix}.

إذاً، إذا كانت الإجابة المعطاة هي
(512),\begin{pmatrix} 5 \\ 12 \end{pmatrix},
فإننا نستنتج أن $X + 7 = 5$، ومن ثم:
X=5−7=−2.X = 5 – 7 = -2.

إذاً، القيمة المجهولة $X$ هي $-2$.

المزيد من المعلومات

بالطبع، دعونا نقوم بحساب $\mathbf{M} (-2 \mathbf{v} + \mathbf{w})$ بتفصيل أكثر ونشرح الخطوات والقوانين المستخدمة.

نعتبر المصفوفة $\mathbf{M}$ والمتجهين $\mathbf{v}$ و $\mathbf{w}$، حيث:
Mv=(X−5)\mathbf{M} \mathbf{v} = \begin{pmatrix} X \\ -5 \end{pmatrix}
و
Mw=(72).\mathbf{M} \mathbf{w} = \begin{pmatrix} 7 \\ 2 \end{pmatrix}.

نريد حساب $\mathbf{M} (-2 \mathbf{v} + \mathbf{w})$. لذلك، نبدأ بحساب $-2\mathbf{v} + \mathbf{w}$.

أولاً، نقوم بضرب $\mathbf{v}$ في $-2$:
−2v=(−2X10).-2 \mathbf{v} = \begin{pmatrix} -2X \\ 10 \end{pmatrix}.

ثم نقوم بجمع هذا المتجه مع $\mathbf{w}$:
−2v+w=(−2X+712).-2 \mathbf{v} + \mathbf{w} = \begin{pmatrix} -2X + 7 \\ 12 \end{pmatrix}.

الآن، نقوم بضرب هذا المتجه في $\mathbf{M}$ باستخدام قانون الضرب للمصفوفات:
M(−2v+w)=M(−2X+712).\mathbf{M} (-2 \mathbf{v} + \mathbf{w}) = \mathbf{M} \begin{pmatrix} -2X + 7 \\ 12 \end{pmatrix}.

لحسن الفهم، لنستخدم خاصية القانون الجبري التوزيعي، حيث
M(a+b)=Ma+Mb.\mathbf{M} (\mathbf{a} + \mathbf{b}) = \mathbf{M} \mathbf{a} + \mathbf{M} \mathbf{b}.

باستخدام هذه الخاصية، نحصل على:
M(−2v+w)=M(−2X+712)=M(−2X+7)+M(12).\mathbf{M} (-2 \mathbf{v} + \mathbf{w}) = \mathbf{M} \begin{pmatrix} -2X + 7 \\ 12 \end{pmatrix} = \mathbf{M} \begin{pmatrix} -2X + 7 \end{pmatrix} + \mathbf{M} \begin{pmatrix} 12 \end{pmatrix}.

وباستخدام المعلومات المعطاة:
Mv=(X−5)\mathbf{M} \mathbf{v} = \begin{pmatrix} X \\ -5 \end{pmatrix}
و
Mw=(72),\mathbf{M} \mathbf{w} = \begin{pmatrix} 7 \\ 2 \end{pmatrix},
يصبح الحساب كالتالي:
M(−2v+w)=(X−5)+(72).\mathbf{M} (-2 \mathbf{v} + \mathbf{w}) = \begin{pmatrix} X \\ -5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 7 \\ 2 \end{pmatrix}.

الجمع يؤدي إلى:
M(−2v+w)=(X+7−3).\mathbf{M} (-2 \mathbf{v} + \mathbf{w}) = \begin{pmatrix} X + 7 \\ -3 \end{pmatrix}.

وهكذا، وصلنا إلى الإجابة النهائية:
M(−2v+w)=(X+7−3).\mathbf{M} (-2 \mathbf{v} + \mathbf{w}) = \begin{pmatrix} X + 7 \\ -3 \end{pmatrix}.

أخيرًا، إذا كانت الإجابة المعطاة هي
(512),\begin{pmatrix} 5 \\ 12 \end{pmatrix},
فإننا نستنتج أن $X + 7 = 5$، ومن ثم:
X=5−7=−2.X = 5 – 7 = -2.

القوانين المستخدمة هي قوانين الجبر وخاصة قانون الضرب للمصفوفات وخاصية التوزيع.

اخر تحديث 23/12/2023
0