مسائل رياضيات

حل مسألة رياضية: عدد المعادلات الصحيحة (مسألة رياضيات)

اخر تحديث 10/12/2023
0

ساندي يحصل على 3 نقاط لكل معادلة صحيحة ويفقد 2 نقطة لكل معادلة خاطئة. ساندي يحاول 30 معادلة ويحصل على 50 نقطة. كم معادلة صحيحة حصل عليها ساندي؟

لنمثل عدد المعادلات الصحيحة التي حصل عليها ساندي بـ “ص”، وعدد المعادلات الخاطئة بـ “خ”. يتبع العلاقة بين النقاط وعدد المعادلات:

مواضيع ذات صلة

3ص−2خ=503ص – 2خ = 50

ونعلم أن ساندي حاول 30 معادلة:

ص+خ=30ص + خ = 30

الآن لنقم بحل هذا النظام من المعادلات للعثور على قيم صص و خخ. يمكننا بدء الحساب بإضافة المعادلتين معًا:

(ص+خ)+(3ص−2خ)=30+504ص−خ=80\begin{align*} (ص + خ) + (3ص – 2خ) &= 30 + 50 \\ 4ص – خ &= 80 \end{align*}

ثم نضرب المعادلة الأصلية في -2 ونجمعها مع المعادلة الجديدة:

−2(ص+خ)+(3ص−2خ)=−2(30)+50−2ص−2خ+3ص−2خ=−60+50ص−4خ=−10\begin{align*} -2(ص + خ) + (3ص – 2خ) &= -2(30) + 50 \\ -2ص – 2خ + 3ص – 2خ &= -60 + 50 \\ ص – 4خ &= -10 \end{align*}

الآن لدينا نظام من معادلتين:

4ص−خ=80ص−4خ=−10\begin{align*} 4ص – خ &= 80 \\ ص – 4خ &= -10 \end{align*}

يمكن حل هذا النظام باستخدام أساليب متعددة، سنستخدم الطريقة التكميلية لحل المعادلات:

الضرب في 4 للمعادلة الثانية:

4(ص−4خ)=4(−10)4ص−16خ=−40\begin{align*} 4(ص – 4خ) &= 4(-10) \\ 4ص – 16خ &= -40 \end{align*}

الآن نجمع هذه المعادلة مع المعادلة الأولى:

(4ص−خ)+(4ص−16خ)=80−408ص−17خ=40\begin{align*} (4ص – خ) + (4ص – 16خ) &= 80 – 40 \\ 8ص – 17خ &= 40 \end{align*}

ثم نحل المعادلة الناتجة:

8ص−17خ=408(ص−2خ)=40ص−2خ=5\begin{align*} 8ص – 17خ &= 40 \\ 8(ص – 2خ) &= 40 \\ ص – 2خ &= 5 \end{align*}

الآن يمكننا حل المعادلتين:

ص−2خ=5ص−4خ=−10\begin{align*} ص – 2خ &= 5 \\ ص – 4خ &= -10 \end{align*}

بطرح المعادلة الثانية من المعادلة الأولى، نحصل على:

2خ=152خ = 15

ثم:

خ=7.5خ = 7.5

الآن نستخدم قيمة خخ لحساب قيمة صص:

ص−4(7.5)=−10ص – 4(7.5) = -10

ص−30=−10ص – 30 = -10

ص=20ص = 20

إذاً، ساندي حصل على 20 معادلة صحيحة.

المزيد من المعلومات

في هذه المسألة، سنقوم بحل نظام من معادلات للعثور على قيمتين مجهولتين: عدد المعادلات الصحيحة (ص) وعدد المعادلات الخاطئة (خ).

للقيام بذلك، نستخدم القوانين الرياضية الأساسية مثل قوانين الجمع والطرح، ونستخدم الطريقة التكميلية لحل المعادلات.

النظام من المعادلات هو:

3ص−2خ=50ص+خ=30\begin{align*} 3ص – 2خ &= 50 \\ ص + خ &= 30 \end{align*}

نستخدم الطريقة التكميلية للتخلص من إحدى المتغيرات. لدينا المعادلة الثانية:

ص+خ=30ص + خ = 30

نضربها في -3 للتخلص من صص في المعادلة الأولى:

−3(ص+خ)=−3(30)-3(ص + خ) = -3(30)

−3ص−3خ=−90-3ص – 3خ = -90

الآن نضيف هذه المعادلة إلى المعادلة الأولى:

(3ص−2خ)+(−3ص−3خ)=50−90−2ص−5خ=−40\begin{align*} (3ص – 2خ) + (-3ص – 3خ) &= 50 – 90 \\ -2ص – 5خ &= -40 \end{align*}

الآن لدينا معادلة واحدة بمتغير واحد (صص)، نستخدمها لحل النظام.

−2ص−5خ=−40ص+خ=30\begin{align*} -2ص – 5خ &= -40 \\ ص + خ &= 30 \end{align*}

نضرب المعادلة الثانية في 2 لجعل معامل صص يتساوى في الاثنتين:

2(ص+خ)=2(30)2(ص + خ) = 2(30)

2ص+2خ=602ص + 2خ = 60

الآن نجمع هذه المعادلة مع المعادلة الأولى:

(−2ص−5خ)+(2ص+2خ)=−40+60−3خ=20\begin{align*} (-2ص – 5خ) + (2ص + 2خ) &= -40 + 60 \\ -3خ &= 20 \end{align*}

ثم نقسم على -3:

خ=−203=−7.5خ = -\frac{20}{3} = -7.5

الآن نستخدم قيمة خخ لحساب قيمة صص باستخدام المعادلة الثانية:

ص+(−7.5)=30ص + (-7.5) = 30

ص=30+7.5=37.5ص = 30 + 7.5 = 37.5

لكن هذه القيمة غير منطقية لأنه يجب أن تكون عددًا صحيحًا (لأنه يمثل عددًا كليًا من المعادلات). يعني أن هناك خطأ ما في الحسابات. دعونا نعود ونراجعها.

خ=7.5خ = 7.5

نستخدم القيمة الصحيحة لحساب صص:

ص+7.5=30ص + 7.5 = 30

ص=22.5ص = 22.5

الناتج هو أن ساندي حصل على 22.5 معادلة صحيحة. ولكن نظرًا لأن عدد المعادلات يجب أن يكون عددًا صحيحًا، يمكننا تقريب القيمة إلى أقرب عدد صحيح، وهو 22.

إذاً، ساندي حصل على 22 معادلة صحيحة.

اخر تحديث 10/12/2023
0