لنبدأ بإعادة صياغة الدالة :
\begin{array}{cl}
\frac{x}{21} & \text{ إذا كان } x \text{ مضاعفاً للعددين 3 و 7}, \\
3x & \text{ إذا كان } x \text{ مضاعفاً فقط للعدد 7}, \\
7x & \text{ إذا كان } x \text{ مضاعفاً فقط للعدد 3}, \\
x+3 & \text{ إذا كان } x \text{ ليس مضاعفاً للعددين 3 أو 7}.
\end{array}
\right.\] الآن، لحساب القيمة الصغرى لـ \( a \) التي تحقق \( f(2) = f^a(2) \)، نحتاج إلى حساب \( f(2) \) أولاً.
نلاحظ أن \( 2 \) ليس مضاعفاً للعددين \( 3 \) أو \( 7 \)، لذا نستخدم الشرط الأخير في الدالة، وبالتالي:
\[ f(2) = 2 + 3 = 5 \] الآن، نحتاج إلى حساب \( f^a(2) \) لقيمة \( a \) أكبر من \( 1 \). سنبدأ باستخدام \( a = 2 \) ومن ثم نزيد القيمة حتى نجد الحل:
\[ f^2(2) = f(f(2)) = f(5) \] حسب الدالة، \( 5 \) ليست مضاعفاً للعددين \( 3 \) أو \( 7 \)، لذا سنستخدم الشرط الأخير مرة أخرى:
\[ f(5) = 5 + 3 = 8 \] لذا، \( f^2(2) = 8 \).
الآن، نحتاج إلى تحديد قيمة \( a \) الأدنى لتحقيق \( f(2) = f^a(2) \). سنستمر في تكرار الدالة حتى نجد قيمة متكررة:
\[ f^3(2) = f(f^2(2)) = f(8) \] باستخدام الشرط الثاني في الدالة (للأعداد المضاعفة للرقم 7):
\[ f(8) = 3 \times 8 = 24 \] لكن لاحظ أن قيمة \( f^3(2) \) مختلفة عن \( f^2(2) \). لذا نحتاج إلى استمرار التجربة.
\[ f^4(2) = f(f^3(2)) = f(24) \] وباستخدام الشرط الثاني:
\[ f(24) = 3 \times 24 = 72 \] الآن، \( f^4(2) \) لا تزال مختلفة عن \( f^2(2) \)، لذا نحتاج للاستمرار.
\[ f^5(2) = f(f^4(2)) = f(72) \] وباستخدام الشرط الثاني:
\[ f(72) = 3 \times 72 = 216 \] لا تزال \( f^5(2) \) مختلفة عن \( f^2(2) \). نستمر…
\[ f^6(2) = f(f^5(2)) = f(216) \] وباستخدام الشرط الثاني:
\[ f(216) = 3 \times 216 = 648 \] لا تزال \( f^6(2) \) مختلفة عن \( f^2(2) \). نستمر…
\[ f^7(2) = f(f^6(2)) = f(648) \] وباستخدام الشرط الثاني:
\[ f(648) = 3 \times 648 = 1944 \] لا تزال \( f^7(2) \) مختلفة عن \( f^2(2) \). نستمر…
\[ f^8(2) = f(f^7(2)) = f(1944) \] وباستخدام الشرط الثاني:
\[ f(1944) = 3 \times 1944 = 5832 \] نستمر في التجربة…
\[ f^9(2) = f(f^8(2)) = f(5832) \] وباستخدام الشرط الثاني:
\[ f(5832) = 3 \times 5832 = 17496 \] لا تزال \( f^9(2) \) مختلفة عن \( f^2(2) \).
الآن نحاول مرة أخرى…
\[ f^{10}(2) = f(f^9(2)) = f(17496) \] وباستخدام الشرط الثاني:
\[ f(17496) = 3 \times 17496 = 52488 \] وأخيرا، \( f^{10}(2) \) تساوي \( f^2(2) \)!
إذاً، أصغر قيمة لـ \( a \) التي تحقق \( f(2) = f^a(2) \) هي \( a = 10 \).
\frac{x}{21} & \text{ إذا كان } x \text{ مضاعفاً للعددين 3 و 7}, \\
3x & \text{ إذا كان } x \text{ مضاعفاً فقط للعدد 7}, \\
7x & \text{ إذا كان } x \text{ مضاعفاً فقط للعدد 3}, \\
x+3 & \text{ إذا كان } x \text{ ليس مضاعفاً للعددين 3 أو 7}.
\end{array}
\right.\] الآن، لحساب القيمة الصغرى لـ \( a \) التي تحقق \( f(2) = f^a(2) \)، نحتاج إلى حساب \( f(2) \) أولاً.
نلاحظ أن \( 2 \) ليس مضاعفاً للعددين \( 3 \) أو \( 7 \)، لذا نستخدم الشرط الأخير في الدالة، وبالتالي:
\[ f(2) = 2 + 3 = 5 \] الآن، نحتاج إلى حساب \( f^a(2) \) لقيمة \( a \) أكبر من \( 1 \). سنبدأ باستخدام \( a = 2 \) ومن ثم نزيد القيمة حتى نجد الحل:
\[ f^2(2) = f(f(2)) = f(5) \] حسب الدالة، \( 5 \) ليست مضاعفاً للعددين \( 3 \) أو \( 7 \)، لذا سنستخدم الشرط الأخير مرة أخرى:
\[ f(5) = 5 + 3 = 8 \] لذا، \( f^2(2) = 8 \).
الآن، نحتاج إلى تحديد قيمة \( a \) الأدنى لتحقيق \( f(2) = f^a(2) \). سنستمر في تكرار الدالة حتى نجد قيمة متكررة:
\[ f^3(2) = f(f^2(2)) = f(8) \] باستخدام الشرط الثاني في الدالة (للأعداد المضاعفة للرقم 7):
\[ f(8) = 3 \times 8 = 24 \] لكن لاحظ أن قيمة \( f^3(2) \) مختلفة عن \( f^2(2) \). لذا نحتاج إلى استمرار التجربة.
\[ f^4(2) = f(f^3(2)) = f(24) \] وباستخدام الشرط الثاني:
\[ f(24) = 3 \times 24 = 72 \] الآن، \( f^4(2) \) لا تزال مختلفة عن \( f^2(2) \)، لذا نحتاج للاستمرار.
\[ f^5(2) = f(f^4(2)) = f(72) \] وباستخدام الشرط الثاني:
\[ f(72) = 3 \times 72 = 216 \] لا تزال \( f^5(2) \) مختلفة عن \( f^2(2) \). نستمر…
\[ f^6(2) = f(f^5(2)) = f(216) \] وباستخدام الشرط الثاني:
\[ f(216) = 3 \times 216 = 648 \] لا تزال \( f^6(2) \) مختلفة عن \( f^2(2) \). نستمر…
\[ f^7(2) = f(f^6(2)) = f(648) \] وباستخدام الشرط الثاني:
\[ f(648) = 3 \times 648 = 1944 \] لا تزال \( f^7(2) \) مختلفة عن \( f^2(2) \). نستمر…
\[ f^8(2) = f(f^7(2)) = f(1944) \] وباستخدام الشرط الثاني:
\[ f(1944) = 3 \times 1944 = 5832 \] نستمر في التجربة…
\[ f^9(2) = f(f^8(2)) = f(5832) \] وباستخدام الشرط الثاني:
\[ f(5832) = 3 \times 5832 = 17496 \] لا تزال \( f^9(2) \) مختلفة عن \( f^2(2) \).
الآن نحاول مرة أخرى…
\[ f^{10}(2) = f(f^9(2)) = f(17496) \] وباستخدام الشرط الثاني:
\[ f(17496) = 3 \times 17496 = 52488 \] وأخيرا، \( f^{10}(2) \) تساوي \( f^2(2) \)!
إذاً، أصغر قيمة لـ \( a \) التي تحقق \( f(2) = f^a(2) \) هي \( a = 10 \).
المزيد من المعلومات
لحل هذه المسألة، نحتاج إلى فهم دالة وتطبيقها متكررًا على العدد بمرات مختلفة حتى نجد القيمة التي تساوي بعد تكرارها مرة.
أولاً وقبل كل شيء، لنتعرف على قوانين الدالة:
- إذا كان العدد مضاعفاً للعددين و ، فإن .
- إذا كان العدد مضاعفاً فقط للعدد ، فإن .
- إذا كان العدد مضاعفاً فقط للعدد ، فإن .
- إذا لم يكن العدد مضاعفاً للعددين أو ، فإن .
الآن، لنقوم بحساب لنعرف من أين نبدأ:
بما أن العدد لا يعد مضاعفاً للعددين أو ، فإننا سنستخدم الشرط الرابع للدالة:
الآن، لنبدأ في تطبيق الدالة متكررًا على حتى نجد قيمة متكررة:
حسب الشروط، ليست مضاعفاً للعددين أو ، لذا:
الآن، نحن بحاجة إلى استمرار تطبيق الدالة مرارًا وتكرارًا للعثور على قيمة متكررة. وبالتالي، سنستمر في تكرار الدالة حتى نجد الذي يساوي ، حيث .
نستمر في حساب ، ، ، وهكذا، حتى نجد قيمة المناسبة.
الطريقة المستخدمة هي استخدام قوانين الدالة المعرفة مسبقًا وتطبيقها على العدد وتكرار هذا التطبيق حتى نجد القيمة المتكررة.