حل مسألة رياضية: خط يقطع قوس (مسألة رياضيات)

تبحث المسألة الرياضية عن عدد القيم الممكنة للمتغير $a$ التي تفي بشرط أن تمر الخط $y = x + a$ عبر رأس القوس $y = x^2 + a^2$. لنقم بتحليل هذه المعادلة لنجد القيم المناسبة لـ $a$.

الشرط الذي يجب أن يتحقق هو أن نجد نقطة مشتركة بين الخط $y = x + a$ والقوس $y = x^2 + a^2$. لذلك، يجب أن نضع معادلتي الخط والقوس في نفس المعادلة ونجد النقطة المشتركة.

معادلة الخط $y = x + a$، حيث $a$ ثابتة ولها منشئ $a$، ومعادلة القوس $y = x^2 + a^2$.

للعثور على النقطة المشتركة، يجب أن نضع المعادلتين معًا ونجد القيم المشتركة لـ $x$ و $y$.

بما أن النقطة المشتركة تقع على الخط والقوس، فنستخدم تمثيل النقطة $(x, y)$ للتعبير عن هذه النقطة.

لذا، يجب أن نحل المعادلة التالية:

$x + a = x^2 + a^2$

نقوم بترتيب المعادلة:

$x^2 – x + (a^2 – a) = 0$

لحل هذه المعادلة، يمكننا استخدام القاعدة المعروفة لحل المعادلات من الدرجة الثانية:

$x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 – 4ac}}}}{{2a}}$

حيث $a = 1$، $b = -1$، و $c = a^2 – a$.

بعد استبدال القيم، نحصل على:

$x = \frac{{-(-1) \pm \sqrt{{(-1)^2 – 4 \cdot 1 \cdot (a^2 – a)}}}}{{2 \cdot 1}}$

$x = \frac{{1 \pm \sqrt{{1 + 4a – 4a^2 + 4a}}}}{{2}}$

$x = \frac{{1 \pm \sqrt{{4a – 4a^2 + 1}}}}{{2}}$

الآن، يجب أن نجد القيم المناسبة لـ $a$ التي تجعل الجذر داخل الأقواس يكون إيجابياً ليكون للمعادلة حلاً حقيقياً.

لاحظ أن النقطة المشتركة بين الخط والقوس لنا تتطلب وجود جذور حقيقية، وهذا يعني أن الجذر في المعادلة يجب أن يكون موجبًا، لذا يجب على الجزء الذي تحت الجذر أن يكون موجبًا:

$4a – 4a^2 + 1 > 0$

الآن، نحل هذه العدمية لنجد القيم المناسبة لـ $a$:

$4a – 4a^2 + 1 > 0$

$4a^2 – 4a + 1 < 0$

نستخدم الحد الرأسي لحساب النقاط المهمة:

$a = \frac{{-b}}{{2a}} = \frac{{-(-4)}}{{2 \cdot 4}} = \frac{1}{2}$

بعد ذلك، يجب أن نستخدم الاختبار من خلال المشتقة الثانية:

$f”(a) = 8 > 0$

وبالتالي، نتأكد أن النقطة $(1/2, f(1/2))$ هي نقطة دنيا (قيمة دنيا للمعادلة).

لذا، نتوصل إلى أن معادلة الخط والقوس تتقاطع في نقطة واحدة على الأكثر.

بالتالي، هناك قيمة واحدة لـ $a$ تحقق الشرط المطلوب، وهي $a = \frac{1}{2}$.

إجمالاً، هناك قيمة واحدة لـ $a$ تحقق الشرط المطلوب، وهي $a = \frac{1}{2}$.

لحل هذه المسألة، نحتاج إلى مزيد من التفاصيل في عملية حل المعادلة التي تمثل نقط التقاطع بين الخط والقوس. سنستخدم بعض القوانين الأساسية لحل المعادلات الرياضية والتحليل الرياضي.

1. استخدام معادلة الخط والقوس:
   نمثل المعادلة للخط $y = x + a$ والمعادلة للقوس $y = x^2 + a^2$. بوضعهما معًا، نحصل على معادلة توضح نقط التقاطع بينهما.

2. حل المعادلة التربيعية:
   بعد توضيح المعادلة وترتيبها، نقوم بحل المعادلة التربيعية للعثور على قيم $x$ التي تمثل نقاط التقاطع.

3. استخدام خاصية الجذر الموجب:
   بما أننا نبحث عن نقاط حقيقية، يجب أن يكون الجذر الموجود في المعادلة التربيعية موجبًا.

4. استخدام الحد الرأسي:
   نستخدم الحد الرأسي للعثور على النقاط الهامة في المنحنى والتأكد من وجود نقطة دنيا.

5. اختبار الشروط:
   نستخدم الشروط الناتجة من الحلول للتأكد من أن النقاط التي نجدها تتماشى مع الشروط المطلوبة في المسألة.

باستخدام هذه الخطوات والقوانين الرياضية المذكورة، نستطيع حل المسألة والعثور على القيم المناسبة لـ $a$ التي تحقق الشرط المطلوب، والتي في هذه الحالة هي $a = \frac{1}{2}$.

تفاصيل الحل تشمل القدرة على تحليل المعادلات الرياضية واستخدام الأسس والقوانين المناسبة لحل المشكلة بدقة ودون الوقوع في الأخطاء الشائعة في الحسابات الرياضية.