حل مسألة: دورات ملء البرميل (مسألة رياضيات)

سعة دلو P ثلاث مرات سعة دلو Q، ويحتاج دلو P إلى 60 دورة لملء البرميل الفارغ. كم عدد الدورات التي ستحتاجها كل من الدلوين P و Q، حيث يقوم كل دلو بدورة في كل مرة، لملء البرميل الفارغ؟

حل المسألة:

لنقم بتعريف سعة دلو Q بـ $q$، وبالتالي سعة دلو P ستكون $3q$، وزمن ملء دلو P سيكون $60$ دورة.

إذاً، نحن نعرف أن سعة دلو P تساوي ثلاث مرات سعة دلو Q:

$\text{سعة P} = 3 \times \text{سعة Q}$

بالتالي:

$3q = \text{سعة Q}$

الآن، إذاً نعلم أنه يستغرق 60 دورة لدلو P لملء البرميل، يمكننا حساب سرعة ملء البرميل بواسطة دلو P بتقسيم سعته على عدد الدورات:

$\text{سرعة ملء P} = \frac{\text{سعة P}}{\text{عدد الدورات}}$

$\text{سرعة ملء P} = \frac{3q}{60}$

الآن، إذاً سنحسب سرعة ملء دلو Q بنفس الطريقة، حيث أن سعته تساوي $q$:

$\text{سرعة ملء Q} = \frac{q}{\text{عدد الدورات}}$

الآن، نحن نريد معرفة كم ستكون سرعة ملء البرميل عندما يقوم كل من دلو P و Q بدورة في كل مرة. لذلك، سنجمع سرعتيهما:

$\text{السرعة الإجمالية} = \text{سرعة ملء P} + \text{سرعة ملء Q}$

$\text{السرعة الإجمالية} = \frac{3q}{60} + \frac{q}{60}$

الآن يمكننا حساب الوقت الذي سيحتاجه الدلوان لملء البرميل بتقسيم حجم البرميل على السرعة الإجمالية:

$\text{عدد الدورات للدلوين} = \frac{\text{حجم البرميل}}{\text{السرعة الإجمالية}}$

$\text{عدد الدورات للدلوين} = \frac{1}{\text{السرعة الإجمالية}}$

$\text{عدد الدورات للدلوين} = \frac{1}{\frac{3q}{60} + \frac{q}{60}}$

بتبسيط الكسر:

$\text{عدد الدورات للدلوين} = \frac{1}{\frac{4q}{60}}$

ثم:

$\text{عدد الدورات للدلوين} = \frac{60}{4q}$

وأخيرًا:

$\text{عدد الدورات للدلوين} = \frac{15}{q}$

لذلك، سيحتاج الدلوان P و Q، عند العمل معًا في كل دورة، إلى $\frac{15}{q}$ دورة لملء البرميل الفارغ.

حل المسألة:

لنقم بتعريف سعة دلو Q بمقدار $q$، وعليه فإن سعة دلو P ستكون $3q$، وزمن ملء دلو P يبلغ 60 دورة.

القانون الأول الذي استخدمناه هو العلاقة بين سعتي الدلتين:

$\text{سعة P} = 3 \times \text{سعة Q}$

وبناءً على ذلك:

$3q = \text{سعة Q}$

ثم، استخدمنا القانون الثاني الذي يرتبط بسرعة ملء البرميل. نقوم بحساب سرعة ملء البرميل بواسطة دلو P باستخدام العلاقة:

$\text{سرعة ملء P} = \frac{\text{سعة P}}{\text{عدد الدورات}}$

$\text{سرعة ملء P} = \frac{3q}{60}$

كما قمنا بحساب سرعة ملء دلو Q بنفس الطريقة:

$\text{سرعة ملء Q} = \frac{q}{60}$

ثم، استخدمنا القانون الثالث لحساب السرعة الإجمالية عندما يعمل كل دلو في نفس الوقت:

$\text{السرعة الإجمالية} = \text{سرعة ملء P} + \text{سرعة ملء Q}$

$\text{السرعة الإجمالية} = \frac{3q}{60} + \frac{q}{60}$

وأخيرًا، استخدمنا القانون الرابع لحساب الوقت الذي يحتاجه الدلوان لملء البرميل بشكل كامل:

$\text{عدد الدورات للدلوين} = \frac{1}{\text{السرعة الإجمالية}}$

$\text{عدد الدورات للدلوين} = \frac{1}{\frac{3q}{60} + \frac{q}{60}}$

ثم قمنا بتبسيط الكسر وحساب الناتج:

$\text{عدد الدورات للدلوين} = \frac{60}{4q}$

وأخيرًا:

$\text{عدد الدورات للدلوين} = \frac{15}{q}$

القوانين المستخدمة:

1. علاقة السعات: استخدمنا العلاقة بين سعتي الدلتين، حيث أن سعة دلو P هي ثلاث مرات سعة دلو Q.

2. سرعة ملء البرميل: حسبنا سرعة ملء البرميل بواسطة كل دلو على حدة باستخدام العلاقة بين السعة وعدد الدورات.

3. السرعة الإجمالية: جمعنا سرعتي ملء البرميل لكل دلو للحصول على السرعة الإجمالية.

4. وقت ملء البرميل: استخدمنا السرعة الإجمالية لحساب الوقت الذي يحتاجه الدلوان لملء البرميل بشكل كامل.