حل مسألة: دوال وتعبيرات عكسية (مسألة رياضيات)

التعريفات:

• إذا كان $x < 20$ ، فإن $f(x) = x + 3$.
• إذا كان $x \geq 20$ ، فإن $f(x) = 2x – 2$.

الآن سنحسب قيمة $f^{-1}(7)$ و $f^{-1}(46)$.
لحساب القيمة العكسية $f^{-1}(y)$ ، نقوم بحل المعادلة $f(x) = y$ بالنسبة لـ $x$.

1. لـ $f^{-1}(7)$:

2. لـ $f^{-1}(46)$:

الآن، بعد أن حصلنا على القيمتين $f^{-1}(7) = 4$ و $f^{-1}(46) = 24$ ، سنجمعهما معًا:

إذاً، قيمة التعبير $f^{-1}(7) + f^{-1}(46)$ تساوي 28.

لحل المسألة، نحتاج أولاً إلى فهم الدوال المعطاة وكيفية عملها، ثم نستخدم القوانين الرياضية الأساسية لحساب القيم.

الدالة $f(x)$ معرفة بشكل مقسم حيث تأخذ تعريفات مختلفة حسب قيم $x$. هذه الدالة تعطينا إمكانية لحساب القيم لأي $x$ معين.

لحل المسألة، أولاً نستخدم القانون الأساسي في الرياضيات الذي يقول إن لدى كل قيمة $x$ في الدالة $f(x)$ قيمة مقابلة معينة في الدالة العكسية $f^{-1}(x)$. لذا، نحتاج إلى حساب قيم $f^{-1}(7)$ و $f^{-1}(46)$.

لحساب $f^{-1}(7)$، نقوم بحل المعادلة $f(x) = 7$، وبما أن $f(x) = x + 3$ عندما $x < 20$، فنحل المعادلة:
$x + 3 = 7$
$x = 7 – 3 = 4$

ثم، لحساب $f^{-1}(46)$، نحل المعادلة $f(x) = 46$، وبما أن $f(x) = 2x – 2$ عندما $x \geq 20$، فنحل المعادلة:
$2x – 2 = 46$
$2x = 46 + 2 = 48$
$x = \frac{48}{2} = 24$

الآن بعد حساب $f^{-1}(7) = 4$ و $f^{-1}(46) = 24$، نستخدم القانون الأساسي للجمع لجمع القيم:
$f^{-1}(7) + f^{-1}(46) = 4 + 24 = 28$

وهكذا، تكون قيمة التعبير $f^{-1}(7) + f^{-1}(46)$ هي 28.

تم استخدام القوانين الأساسية لحساب القيم في الرياضيات، مثل قانون الدوال العكسية وقوانين الجمع والطرح.