نريد حساب مجموع $f^{-1}(7)$ و $f^{-1}(46)$ حيث تعرف الدالة $f(x)$ كما يلي:
\begin{array}{cl}
x + 3 & \text{if $x < 20$}, \\ 2x - 2 & \text{if $x \ge 20$}. \end{array} \right.\] لحساب $f^{-1}(7)$، نحتاج إلى حل المعادلة $f(x) = 7$. بما أنه يمكن أن يكون $x$ أقل من 20 أو أكبر من 20، فلنبدأ بحل كل حالة على حدة. 1. لو كان $x < 20$: \[x + 3 = 7\] \[x = 7 - 3 = 4\] 2. لو كان $x \ge 20$: \[2x - 2 = 7\] \[2x = 7 + 2 = 9\] \[x = \frac{9}{2} = 4.5\] لكن هذا التحليل لا يتماشى مع تعريف الدالة $f(x)$ حيث أنها تعطي $x + 3$ عندما يكون $x < 20$ و $2x - 2$ عندما يكون $x \ge 20$. ولكن القيمة 4.5 غير مقبولة لأنها لا تتوافق مع تعريف الدالة عندما $x \ge 20$. لذا، نتجاهل الحل الثاني ونستمر مع الحل الأول فقط، الذي يعطينا $f^{-1}(7) = 4$. الآن، لحساب $f^{-1}(46)$، نحتاج إلى حل المعادلة $f(x) = 46$. ومرة أخرى، لأن القيمة يمكن أن تكون $x$ أقل من 20 أو أكبر من 20، لنبدأ بحل كل حالة: 1. لو كان $x < 20$: \[x + 3 = 46\] \[x = 46 - 3 = 43\] 2. لو كان $x \ge 20$: \[2x - 2 = 46\] \[2x = 46 + 2 = 48\] \[x = \frac{48}{2} = 24\] نرى أن القيمة 24 تتوافق مع تعريف الدالة لحالة $x \ge 20$، لذا $f^{-1}(46) = 24$. أخيرًا، مجموع $f^{-1}(7)$ و $f^{-1}(46)$ هو: \[f^{-1}(7) + f^{-1}(46) = 4 + 24 = 28.\]
x + 3 & \text{if $x < 20$}, \\ 2x - 2 & \text{if $x \ge 20$}. \end{array} \right.\] لحساب $f^{-1}(7)$، نحتاج إلى حل المعادلة $f(x) = 7$. بما أنه يمكن أن يكون $x$ أقل من 20 أو أكبر من 20، فلنبدأ بحل كل حالة على حدة. 1. لو كان $x < 20$: \[x + 3 = 7\] \[x = 7 - 3 = 4\] 2. لو كان $x \ge 20$: \[2x - 2 = 7\] \[2x = 7 + 2 = 9\] \[x = \frac{9}{2} = 4.5\] لكن هذا التحليل لا يتماشى مع تعريف الدالة $f(x)$ حيث أنها تعطي $x + 3$ عندما يكون $x < 20$ و $2x - 2$ عندما يكون $x \ge 20$. ولكن القيمة 4.5 غير مقبولة لأنها لا تتوافق مع تعريف الدالة عندما $x \ge 20$. لذا، نتجاهل الحل الثاني ونستمر مع الحل الأول فقط، الذي يعطينا $f^{-1}(7) = 4$. الآن، لحساب $f^{-1}(46)$، نحتاج إلى حل المعادلة $f(x) = 46$. ومرة أخرى، لأن القيمة يمكن أن تكون $x$ أقل من 20 أو أكبر من 20، لنبدأ بحل كل حالة: 1. لو كان $x < 20$: \[x + 3 = 46\] \[x = 46 - 3 = 43\] 2. لو كان $x \ge 20$: \[2x - 2 = 46\] \[2x = 46 + 2 = 48\] \[x = \frac{48}{2} = 24\] نرى أن القيمة 24 تتوافق مع تعريف الدالة لحالة $x \ge 20$، لذا $f^{-1}(46) = 24$. أخيرًا، مجموع $f^{-1}(7)$ و $f^{-1}(46)$ هو: \[f^{-1}(7) + f^{-1}(46) = 4 + 24 = 28.\]
المزيد من المعلومات
لحل المسألة، نحتاج أولاً إلى فهم كيفية عمل الدالة $f(x)$ التي تم تعريفها كما يلي:
\begin{array}{cl}
x + 3 & \text{if } x < 20, \\ 2x - 2 & \text{if } x \ge 20. \end{array} \right.\] القوانين المستخدمة في الحل تشمل: 1. **قانون تعريف الدالة**: يحدد كيفية تصريف الدالة ويوضح القيم التي تُعيد للمدخلات المختلفة. 2. **قانون حل المعادلات**: نحتاج إلى حل معادلات الدالة العكسية $f^{-1}(x)$ لأجل العثور على القيم المناسبة للمدخلات. أولاً، نبدأ بحساب $f^{-1}(7)$: نريد حل المعادلة $f(x) = 7$ والعثور على القيمة المناسبة للمدخلة $x$. 1. عندما $x < 20$: \[x + 3 = 7\] \[x = 7 - 3 = 4\] الآن، نحسب $f^{-1}(46)$: نريد حل المعادلة $f(x) = 46$ للعثور على القيمة المناسبة للمدخلة $x$. 2. عندما $x \ge 20$: \[2x - 2 = 46\] \[2x = 46 + 2 = 48\] \[x = \frac{48}{2} = 24\] الآن، للتحقق من صحة الحل، نتأكد من أن القيم التي حصلنا عليها تتوافق مع تعريف الدالة: - $4$ تتوافق مع $x + 3$ عندما $x < 20$. - $24$ تتوافق مع $2x - 2$ عندما $x \ge 20$. بعد ذلك، نقوم بجمع القيمتين: \[f^{-1}(7) + f^{-1}(46) = 4 + 24 = 28.\] تمثل هذه العملية استخدام قوانين الحساب البسيطة مثل الجمع والطرح وقانون حل المعادلات. من خلال فهم تعريف الدالة وتطبيق قوانين الحساب، يمكننا حل المسألة بشكل دقيق وموثوق به.
x + 3 & \text{if } x < 20, \\ 2x - 2 & \text{if } x \ge 20. \end{array} \right.\] القوانين المستخدمة في الحل تشمل: 1. **قانون تعريف الدالة**: يحدد كيفية تصريف الدالة ويوضح القيم التي تُعيد للمدخلات المختلفة. 2. **قانون حل المعادلات**: نحتاج إلى حل معادلات الدالة العكسية $f^{-1}(x)$ لأجل العثور على القيم المناسبة للمدخلات. أولاً، نبدأ بحساب $f^{-1}(7)$: نريد حل المعادلة $f(x) = 7$ والعثور على القيمة المناسبة للمدخلة $x$. 1. عندما $x < 20$: \[x + 3 = 7\] \[x = 7 - 3 = 4\] الآن، نحسب $f^{-1}(46)$: نريد حل المعادلة $f(x) = 46$ للعثور على القيمة المناسبة للمدخلة $x$. 2. عندما $x \ge 20$: \[2x - 2 = 46\] \[2x = 46 + 2 = 48\] \[x = \frac{48}{2} = 24\] الآن، للتحقق من صحة الحل، نتأكد من أن القيم التي حصلنا عليها تتوافق مع تعريف الدالة: - $4$ تتوافق مع $x + 3$ عندما $x < 20$. - $24$ تتوافق مع $2x - 2$ عندما $x \ge 20$. بعد ذلك، نقوم بجمع القيمتين: \[f^{-1}(7) + f^{-1}(46) = 4 + 24 = 28.\] تمثل هذه العملية استخدام قوانين الحساب البسيطة مثل الجمع والطرح وقانون حل المعادلات. من خلال فهم تعريف الدالة وتطبيق قوانين الحساب، يمكننا حل المسألة بشكل دقيق وموثوق به.