حل مسألة: درجات زوايا المضلع الخماسي (مسألة رياضيات)

عدد درجات قياس زوايا الأضلاع الداخلية للمضلع المنتظم هي خمسة أعداد صحيحة متتالية. ما هو عدد الدرجات في الزاوية الأكبر؟

حل المسألة:
لحساب عدد الدرجات في كل زاوية، نستخدم الصيغة التالية:
$\text{مجموع درجات الزوايا في مضلع مُنتظم} = (n – 2) \times 180$

حيث $n$ هو عدد الأضلاع في المضلع.

في هذه الحالة، لدينا مضلع مضلع من خمسة أضلاع (مضلع خماسي)، لذا $n = 5$.

بما أننا نعرف أن مجموع درجات الزوايا الداخلية للمضلع هو $(n – 2) \times 180$، فإننا نستطيع حساب مجموع درجات الزوايا كالتالي:
$(5 – 2) \times 180 = 3 \times 180 = 540$ درجة.

المجموع الإجمالي لدرجات الزوايا في المضلع هو 540 درجة.

الآن، نعلم أن الأعداد الدرجات في الزوايا هي خمسة أعداد متتالية، لذا لنقم بتمثيل هذه الأعداد على أنها $x$، $x + 1$، $x + 2$، $x + 3$، $x + 4$، حيث $x$ هو أصغر زاوية.

بما أن مجموع هذه الأعداد يجب أن يساوي 540 درجة، يمكننا كتابة المعادلة التالية وحلها للعثور على قيمة $x$:
$x + (x + 1) + (x + 2) + (x + 3) + (x + 4) = 540$

نوجد مجموع الأعداد:
$5x + 10 = 540$

ثم نحل المعادلة:
$5x = 530$
$x = 106$

الآن، نعرف قيمة $x$ التي تمثل أصغر زاوية في المضلع، وهي 106 درجات.

للعثور على أكبر زاوية، نضيف 4 إلى $x$ لأن الأعداد هي متتالية:
$106 + 4 = 110$

إذاً، أكبر زاوية في المضلع تحتوي على $110$ درجة.

في حل مسألة درجات زوايا المضلع الخماسي، نستخدم مفهومين أساسيين في الهندسة الرياضية:

1. مجموع زوايا المضلع:
   في مضلع بـ $n$ أضلاع، مجموع زواياه الداخلية يعطى بواسطة الصيغة:
   $\text{مجموع زوايا المضلع} = (n – 2) \times 180^\circ$
   هذا ينبغي لأنه يمكن تقسيم المضلع إلى $n – 2$ مثلث، وزوايا المثلث تكون مجموعها $180^\circ$.

2. زوايا متتالية:
   في مجموعة من الأعداد الصحيحة المتتالية، إذا كان $x$ هو العدد الأصغر، فإن باقي الأعداد يمكن تمثيلها بالشكل التالي: $x + 1$، $x + 2$، $x + 3$، $x + 4$، وهكذا.

الآن، سنطبق هذه الأفكار على حل المسألة:

نعرف أن لدينا مضلع خماسي (من القوانين الهندسية)، لذا $n = 5$، وبالتالي:
$\text{مجموع زوايا المضلع} = (5 – 2) \times 180^\circ = 3 \times 180^\circ = 540^\circ$

ثم نفترض أن الأعداد التي تمثل درجات الزوايا هي $x$، $x + 1$، $x + 2$، $x + 3$، $x + 4$.

نحسب مجموع الأعداد:
$x + (x + 1) + (x + 2) + (x + 3) + (x + 4) = 540$
$5x + 10 = 540$
$5x = 530$
$x = 106$

الآن، بمعرفة قيمة $x$، نحسب قيمة الزاوية الأكبر، والتي هي $x + 4$، لأن الأعداد هي متتالية:
$x + 4 = 106 + 4 = 110$

إذاً، الزاوية الأكبر في المضلع تحتوي على $110^\circ$، وهو الحل النهائي للمسألة.