حل مسألة حسابية: قيمة X في تسلسل حسابي (مسألة رياضيات)

في تسلسل حسابي، تكون العناصر متتابعة بفارق ثابت. إذاً، إذا كانت العناصر الثانية والخامسة في هذا التسلسل هي X و 19 على التوالي، وكانت العنصر الثامن هو 21، يمكننا استخدام هذه المعلومات لحساب قيمة المتغير المجهول X.

لنعبر عن العناصر في التسلسل باستخدام الصيغة العامة للتسلسل الحسابي:

العنصر الثاني: a + d = X
العنصر الخامس: a + 4d = 19
العنصر الثامن: a + 7d = 21

حيث:
a هو العنصر الأول في التسلسل.
d هو الفارق الثابت بين العناصر المتتابعة.

لحساب قيمة المتغير المجهول X، نقوم بحل المعادلات التي تمثل العناصر الثاني والخامس والثامن في التسلسل. بفحص النظام من المعادلات، يمكننا الوصول إلى قيمة المتغير X.

سأقوم الآن بحساب قيمة X.

لنقم بحل المعادلات:

المعادلة الأولى: $a + d = X$

المعادلة الثانية: $a + 4d = 19$

المعادلة الثالثة: $a + 7d = 21$

لنحسب الفارق الثابت $d$، يمكننا طرح المعادلة الأولى من المعادلة الثانية:

$(a + 4d) – (a + d) = 19 – X$

بتبسيط الطرفين:

$3d = 19 – X$

الآن، لنحسب قيمة $d$:

$d = \frac{{19 – X}}{3}$

الآن، سنستخدم قيمة $d$ لحساب قيمة $a$ بواسطة المعادلة الأولى:

$a + \frac{{19 – X}}{3} = X$

لنقم بتبسيط المعادلة:

$3a + 19 – X = 3X$

وبترتيب الأعضاء:

$3a = 4X – 19$

الآن، لنقم بحساب قيمة $a$:

$a = \frac{{4X – 19}}{3}$

المعادلة الثالثة لدينا:

$a + 7d = 21$

سنستخدم قيمة $a$ و $d$ التي حسبناها:

$\frac{{4X – 19}}{3} + 7\left(\frac{{19 – X}}{3}\right) = 21$

سنقوم بحساب قيمة $X$ من هذه المعادلة. سأقوم الآن بحساب القيم.

سأقوم بحساب قيمة $X$ من المعادلة:

$\frac{{4X – 19}}{3} + 7\left(\frac{{19 – X}}{3}\right) = 21$

لنقم بتوسيع الأعداد وتبسيط المعادلة:

$\frac{{4X – 19 + 7(19 – X)}}{3} = 21$

نقوم بضرب 7 في الداخل:

$\frac{{4X – 19 + 133 – 7X}}{3} = 21$

نجمع المصطلحات المماثلة:

$\frac{{-3X + 114}}{3} = 21$

نقوم بقسم البسط على المقام:

$-X + 38 = 21$

نضيف $X$ إلى الطرفين:

$38 = X + 21$

نطرح 21 من الطرفين:

$X = 17$

إذاً، قيمة المتغير المجهول $X$ هي 17.

لنقم بحل المسألة بشكل أكثر تفصيلًا ونستخدم القوانين الرياضية المناسبة:

لنبدأ بتمثيل التسلسل الحسابي باستخدام القوانين التي تحدد العلاقة بين العناصر المتتابعة. لتسهيل الحل، سنستخدم الرموز التالية:

• $a$ هو العنصر الأول في التسلسل.
• $d$ هو الفارق الثابت بين العناصر المتتابعة.

القانون الأول: $a_n = a + (n-1)d$

حيث $a_n$ هو العنصر الثامن في التسلسل، $a$ هو العنصر الأول، $n$ هو الموقع في التسلسل، و$d$ هو الفارق الثابت.

القانون الثاني: $a_n = a_1 + (n-1)d$

حيث $a_n$ هو العنصر الثامن، $a_1$ هو العنصر الأول، $n$ هو عدد المرات التي تم القفز للوصول إلى العنصر الثامن، و$d$ هو الفارق الثابت.

القانون الثالث: $d = \frac{{a_n – a_1}}{{n-1}}$

حيث $d$ هو الفارق الثابت، $a_n$ هو العنصر الثامن، $a_1$ هو العنصر الأول، و$n$ هو الموقع في التسلسل.

الآن، لنستخدم المعلومات المعطاة في المسألة:

العنصر الثاني: $a + d = X$
العنصر الخامس: $a + 4d = 19$
العنصر الثامن: $a + 7d = 21$

نستخدم القانون الثالث لحساب قيمة $d$:

$d = \frac{{a_n – a_1}}{{n-1}}$

$d = \frac{{X – a}}{{2}}$

الآن، نستخدم القانون الأول لحساب قيمة $a$:

$a + d = X$

$a + \frac{{X – a}}{{2}} = X$

نحسب القيم:

$a = \frac{{4X – 19}}{{3}}$

الآن، نستخدم القانون الثاني للتحقق من قيمة $a$:

$a + 4d = 19$

$\frac{{4X – 19}}{{3}} + \frac{{2(X – a)}}{{3}} = 19$

نحسب القيم:

$X = 17$

إذًا، وباستخدام القوانين المذكورة، تم حساب قيمة المتغير المجهول $X$ وهي 17.