حل مسألة: جمع زوايا الظل باستخدام التمام (مسألة رياضيات)

نبدأ بحل المعادلة، حيث نريد إيجاد مجموع الظواهر الزاوية $\arctan\left(\frac{2}{5}\right)$ و$\arctan\left(\frac{5}{2}\right)$.

لنجد قيمة الظاهرة الزاوية الأولى، نستخدم خاصية الظواهر الزاوية في المثلثات. لنفترض وجود مثلث قائم الزاوية ABC حيث $\tan(\angle ABC) = \frac{2}{5}$. إذاً، نكتب:

$\tan(\angle ABC) = \frac{BC}{AB} = \frac{2}{5}$

من هنا نجد أن طول الضلع المقابل للزاوية $\angle ABC$ هو 2، وطول الضلع المجاور هو 5. باستخدام مبرهنة فيثاغورس، يمكننا حساب طول الوتر AC:

$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{5^2 + 2^2} = \sqrt{25 + 4} = \sqrt{29}$

الآن، نستخدم هذه المعلومات لحساب الظاهرة الزاوية $\angle ABC$ باستخدام الدالة العكسية للتمام:

$\arctan\left(\frac{2}{5}\right) = \arctan\left(\frac{BC}{AB}\right) = \arctan\left(\frac{2}{5}\right) = \arcsin\left(\frac{2}{\sqrt{29}}\right)$

بنفس الطريقة، يمكننا حساب الظاهرة الزاوية الثانية $\angle BCD$ حيث $\tan(\angle BCD) = \frac{5}{2}$. نجد أن طول الضلع المقابل للزاوية هو 5 والضلع المجاور هو 2. باستخدام فيثاغورس، نحسب طول الوتر BD:

$BD = \sqrt{BC^2 + CD^2} = \sqrt{5^2 + 2^2} = \sqrt{29}$

وبناءً على ذلك، نحصل على الزاوية $\angle BCD$:

$\arctan\left(\frac{5}{2}\right) = \arctan\left(\frac{BC}{CD}\right) = \arctan\left(\frac{5}{2}\right) = \arcsin\left(\frac{5}{\sqrt{29}}\right)$

الخطوة التالية هي جمع الزاويتين. لنجمع $\arctan\left(\frac{2}{5}\right)$ و$\arctan\left(\frac{5}{2}\right)$، نستخدم هوية جمع الظواهر الزاوية للتمام:

$\arctan\left(\frac{2}{5}\right) + \arctan\left(\frac{5}{2}\right) = \arctan\left(\frac{\tan\left(\arctan\left(\frac{2}{5}\right)\right) + \tan\left(\arctan\left(\frac{5}{2}\right)\right)}{1 – \tan\left(\arctan\left(\frac{2}{5}\right)\right) \cdot \tan\left(\arctan\left(\frac{5}{2}\right)\right)}\right)$

نستخدم هنا هوية التمام للظواهر الزاوية:

$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 – \tan\alpha \cdot \tan\beta}$

ونستخدم القيم التي حسبناها سابقًا للوصول إلى الإجابة. يمكننا الآن حساب الجمع:

$\arctan\left(\frac{2}{5}\right) + \arctan\left(\frac{5}{2}\right) = \arctan\left(\frac{\frac{2}{\sqrt{29}} + \frac{5}{\sqrt{29}}}{1 – \frac{2}{\sqrt{29}} \cdot \frac{5}{\sqrt{29}}}\right)$

نبسط الكسر في المقام:

$\arctan\left(\frac{2}{5}\right) + \arctan\left(\frac{5}{2}\right) = \arctan\left(\frac{\frac{7}{\sqrt{29}}}{1 – \frac{10}{29}}\right)$

نحسب الجذر التربيعي:

$\arctan\left(\frac{2}{5}\right) + \arctan\left(\frac{5}{2}\right) = \arctan\left(\frac{\frac{7}{\sqrt{29}}}{\frac{19}{29}}\right)$

نقوم بضرب البسط والمقام في $\sqrt{29}$:

$\arctan\left(\frac{2}{5}\right) + \arctan\left(\frac{5}{2}\right) = \arctan\left(\frac{7}{\sqrt{29}} \cdot \frac{29}{19}\right)$

نقوم بتبسيط الكسر:

$\arctan\left(\frac{2}{5}\right) + \arctan\left(\frac{5}{2}\right) = \arctan\left(\frac{7}{\sqrt{29}} \cdot \frac{29}{19}\right) = \arctan\left(\frac{7}{\sqrt{29}} \cdot \frac{29}{19}\right) = \arctan\left(\frac{7}{\sqrt{29}} \cdot \frac{\sqrt{29}}{19}\right)$

نقوم

بالطبع، سأوفر تفاصيل أكثر حول حل المسألة وأذكر القوانين المستخدمة.

المسألة تتعلق بحساب مجموع زاويتين موجبتين، وهما $\arctan\left(\frac{2}{5}\right)$ و$\arctan\left(\frac{5}{2}\right)$، ونحتاج إلى إيجاد قيمة هذا المجموع. لحساب هذا المجموع، سنستخدم هوية جمع الظواهر الزاوية للتمام:

$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 – \tan\alpha \cdot \tan\beta}$

نبدأ بحساب قيم الظواهر الزاوية المعطاة. للظاهرة الزاوية الأولى $\arctan\left(\frac{2}{5}\right)$، نستخدم خاصية التمام ونحسب قيمة الزاوية باستخدام الدالة العكسية للسين:

$\arctan\left(\frac{2}{5}\right) = \arcsin\left(\frac{2}{\sqrt{29}}\right)$

وبنفس الطريقة، نحسب قيمة الظاهرة الزاوية الثانية $\arctan\left(\frac{5}{2}\right)$:

$\arctan\left(\frac{5}{2}\right) = \arcsin\left(\frac{5}{\sqrt{29}}\right)$

الخطوة التالية هي جمع الظواهر الزاوية، ولكن قبل ذلك، نستخدم الهوية المذكورة لحساب الزاوية المطلوبة:

$\arctan\left(\frac{2}{5}\right) + \arctan\left(\frac{5}{2}\right) = \arctan\left(\frac{\tan\left(\arctan\left(\frac{2}{5}\right)\right) + \tan\left(\arctan\left(\frac{5}{2}\right)\right)}{1 – \tan\left(\arctan\left(\frac{2}{5}\right)\right) \cdot \tan\left(\arctan\left(\frac{5}{2}\right)\right)}\right)$

نستخدم هوية التمام للظواهر الزاوية لحساب الزاوية المطلوبة:

$\arctan\left(\frac{2}{5}\right) + \arctan\left(\frac{5}{2}\right) = \arctan\left(\frac{\frac{2}{\sqrt{29}} + \frac{5}{\sqrt{29}}}{1 – \frac{2}{\sqrt{29}} \cdot \frac{5}{\sqrt{29}}}\right)$

بتبسيط الكسر في المقام، نحصل على:

$\arctan\left(\frac{2}{5}\right) + \arctan\left(\frac{5}{2}\right) = \arctan\left(\frac{\frac{7}{\sqrt{29}}}{1 – \frac{10}{29}}\right)$

ونستمر في تبسيط الكسر:

$\arctan\left(\frac{2}{5}\right) + \arctan\left(\frac{5}{2}\right) = \arctan\left(\frac{\frac{7}{\sqrt{29}}}{\frac{19}{29}}\right)$

ثم نقوم بضرب البسط والمقام في $\sqrt{29}$:

$\arctan\left(\frac{2}{5}\right) + \arctan\left(\frac{5}{2}\right) = \arctan\left(\frac{7}{\sqrt{29}} \cdot \frac{29}{19}\right)$

ونقوم بتبسيط الكسر:

$\arctan\left(\frac{2}{5}\right) + \arctan\left(\frac{5}{2}\right) = \arctan\left(\frac{7}{\sqrt{29}} \cdot \frac{29}{19}\right) = \arctan\left(\frac{7}{\sqrt{29}} \cdot \frac{29}{19}\right) = \arctan\left(\frac{7}{\sqrt{29}} \cdot \frac{\sqrt{29}}{19}\right)$

الآن، نحن عند نقطة تبسيط الكسر والحصول على الإجابة بصورة أكثر بساطة:

$\arctan\left(\frac{2}{5}\right) + \arctan\left(\frac{5}{2}\right) = \arctan\left(\frac{7}{19}\right)$

هنا استخدمنا قوانين الجيومتريا والتفاضل لحل المسألة، مع التركيز على استخدام الظواهر الزاوية والهويات المتعلقة بها.