حل مسألة توزيع الكرات في الصناديق (مسألة رياضيات)

يتعين وضع 4 كرات من ألوان مختلفة في 3 صناديق مختلفة بحيث تحتوي كل صندوق على كرة واحدة على الأقل. ما هو العدد الأقصى للطرق المختلفة التي يمكن بها القيام بذلك؟

الحل:

لفهم الطريقة التي يمكن بها تحديد الحلول الممكنة لهذه المشكلة، يمكننا البدء بفحص جميع الحالات المحتملة. لدينا 3 صناديق و 4 كرات، ونحن نحتاج إلى وضع كرة واحدة على الأقل في كل صندوق.

لنبدأ بوضع الكرة الأولى في أحد الصناديق، لدينا 3 اختيارات للصندوق الأول. الآن، بعد وضع الكرة الأولى، لدينا 3 كرات و 2 صناديق. يمكننا وضع الكرة الثانية في أي من الصناديق المتبقية، لدينا 2 اختيار للصندوق الثاني.

الآن بعد وضع الكرة الثانية، لدينا 2 كرات وصندوق واحد. يمكننا وضع الكرتين المتبقيتين في أي ترتيب في هذا الصندوق الواحد.

لذلك، إجمالاً، عدد الطرق المختلفة لوضع الكرات في الصناديق هو:
$3 \times 2 \times 2 = 12$

إذاً، هناك 12 طريقة مختلفة لوضع 4 كرات في 3 صناديق مع شرط أن تحتوي كل صندوق على كرة واحدة على الأقل.

لحل هذه المسألة، سنستخدم مفهوم الجمع مع التكرار وقوانين حساب الاحتمالات. هدفنا هو وضع 4 كرات ملونة في 3 صناديق مختلفة بحيث تحتوي كل صندوق على كرة واحدة على الأقل.

القوانين المستخدمة:

1. قانون الضرب: إذا كان لدينا عدة خيارات مستقلة، فإن عدد الطرق الإجمالي لتحقيق هذه الاختيارات يتم بضرب عددها معًا.

2. مفهوم الجمع مع التكرار: عندما يكون لدينا عنصر متكرر، نستخدم مفهوم الجمع مع التكرار لحساب عدد الطرق الممكنة.

الخطوات:

أولاً، نبدأ بوضع الكرة الأولى في أي من الصناديق الثلاث، ولدينا 3 خيارات لفعل ذلك.

ثم، بمجرد وضعنا الكرة الأولى، لدينا 3 كرات و 2 صناديق، وهنا نقوم بوضع الكرة الثانية في أي من الصناديق المتبقية، ولدينا 2 خيار لفعل ذلك.

الآن، بعد وضعنا الكرتين الأوليين، لدينا 2 كرات وصندوق واحد. ونقوم بوضع الكرتين المتبقيتين في هذا الصندوق الواحد.

الحساب:

$3 \times 2 \times 2 = 12$

لذلك، هناك 12 طريقة مختلفة لوضع 4 كرات في 3 صناديق، مع الالتزام بشرط أن تحتوي كل صندوق على كرة واحدة على الأقل.