حل مسألة تكعيب الجذور الكوبية (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:
إذا كانت $p، q، r$ هي جذور معادلة $x^3 – x^2 + x – X = 0.$ فما قيمة التعبير $p^3 + q^3 + r^3$؟
إذا كانت الإجابة على هذا السؤال هي 4، فما هي قيمة المتغير المجهول $X$؟

الحل:
لنبدأ بحساب التعبير $p^3 + q^3 + r^3.$ يمكننا استخدام الهوية التالية:

$a^3 + b^3 + c^3 – 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 – ab – ac – bc)$

في هذا السياق، نأخذ $a = p، b = q، c = r$:

$p^3 + q^3 + r^3 – 3pqr = (p + q + r)(p^2 + q^2 + r^2 – pq – pr – qr)$

لكننا نعلم أن $p، q، r$ هي جذور المعادلة $x^3 – x^2 + x – X = 0.$ لذا، نستنتج أن $p + q + r = 1$ و $pq + pr + qr = 1.$

نستبدل هذه القيم في المعادلة السابقة:

$p^3 + q^3 + r^3 – 3pqr = (1)(p^2 + q^2 + r^2 – 1)$

لكننا نعلم أيضًا أن $p^2 + q^2 + r^2 = (p + q + r)^2 – 2(pq + pr + qr) = 1 – 2 = -1.$

نستخدم هذه القيم في المعادلة:

$p^3 + q^3 + r^3 – 3pqr = 1(-1 – 1)$

$p^3 + q^3 + r^3 – 3pqr = -2$

إذاً:

$p^3 + q^3 + r^3 = 3pqr – 2$

الآن، وبما أننا نعلم أن $p^3 + q^3 + r^3 = 4$، نستخدم هذا في المعادلة السابقة:

$4 = 3pqr – 2$

نضيف 2 إلى الطرفين:

$6 = 3pqr$

نقسم على 3:

$2 = pqr$

إذاً، قيمة المتغير المجهول $X$ هي 2.

لحل هذه المسألة، بدأنا بالنظر إلى التعبير $p^3 + q^3 + r^3$ واستخدمنا هوية الجمع المكعبات:

$a^3 + b^3 + c^3 – 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 – ab – ac – bc)$

ثم قمنا بتطبيق هذه الهوية باختيار $a = p$، $b = q$، و $c = r$، والتي أدت إلى المعادلة:

$p^3 + q^3 + r^3 – 3pqr = (p + q + r)(p^2 + q^2 + r^2 – pq – pr – qr)$

ثم استفدنا من حقيقة أن $p + q + r = 1$ (وهي مجموع جذور المعادلة) و $pq + pr + qr = 1$ (وهي مجموع المنتجات المتقاطعة بين الجذور)، حيث قمنا بتبديل هذه القيم في المعادلة للحصول على:

$p^3 + q^3 + r^3 – 3pqr = (1)(p^2 + q^2 + r^2 – 1)$

ومن ثم استخدمنا الحقيقة الإضافية أن $p^2 + q^2 + r^2 = -1$ (التي حصلنا عليها بتبديل القيم المعروفة في المعادلة)، لنحصل على:

$p^3 + q^3 + r^3 – 3pqr = 1(-1 – 1)$

$p^3 + q^3 + r^3 – 3pqr = -2$

ثم حصلنا على تعبير نهائي للمتغيرات المعنية:

$p^3 + q^3 + r^3 = 3pqr – 2$

وعليه، عندما علمنا أن $p^3 + q^3 + r^3 = 4$، قمنا بحل المعادلة التي حصلنا عليها:

$4 = 3pqr – 2$

وبإضافة 2 إلى الطرفين والقسمة على 3، حصلنا على قيمة المتغير المجهول:

$2 = pqr$

وهكذا تم الوصول إلى القيمة المطلوبة للمتغير المجهول $X$.

القوانين والهويات المستخدمة في الحل:

1. هوية الجمع المكعبات: $a^3 + b^3 + c^3 – 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 – ab – ac – bc)$
2. تعبيرات مجموع ومنتجات الجذور في حالة معادلة مكعبة.
3. استخدام القيم المعروفة لمجموع الجذور ومجموع المنتجات المتقاطعة لتبسيط التعابير.
4. استخدام الحقيقة الإضافية لقيمة مربع مجموع الجذور.
5. حل معادلة للحصول على القيمة المجهولة.