حل مسألة تفكيك المعادلات التربيعية (مسألة رياضيات)

نريد حساب عدد الأزواج المرتبة من الأعداد الصحيحة $(a، b)$ حيث $1 \leq a \leq 100$ و $b \geq X$ بحيث يمكن تفكيك المعادلة التربيعية $x^2 + ax + b$ إلى حاصل ضربين خطيين (ليست بالضرورة متميزتين) بمعاملات صحيحة.

لتفكيك المعادلة التربيعية $x^2 + ax + b$ إلى حاصل ضربين خطيين بمعاملات صحيحة، يجب أن يكون المقام الأول من كل عامل مقيدًا بقوى $x$ والمقام الثاني عامل ثابت.

المعادلة التربيعية $x^2 + ax + b$ يمكن أن تُفكك إلى $(x + p)(x + q)$ حيث $p$ و $q$ هما جذور المعادلة. لذا، نحصل على العلاقات التالية:

$p + q = a$
$pq = b$

ونعلم أن $a$ هو المجموع للعددان $p$ و $q$، و $b$ هو حاصل ضربهما.

نعلم أن $p$ و $q$ هما عددين صحيحين، لذا عندما نقول $b = pq$، فإن عدد الأعداد الصحيحة $b$ التي يمكن أن تكون ناتجًا لضرب عددين $p$ و $q$ يعتمد على عدد الأزواج الفريدة من $(p، q)$.

نظرًا لأننا نتعامل مع الأعداد الصحيحة، يمكن أن تكون قيم $p$ و $q$ هي أي من الأزواج $(p، q)$، $(-p، -q)$، $(p، -q)$، $(-p، q)$.

بالنسبة للقيم الممكنة لـ $p$، يمكن أن تكون بين $-100$ و $100$، وبالنسبة لـ $q$، فهي تتوافق مع قيم $p$ بنفس النطاق.

لكن هناك شرطًا إضافيًا للبحث عن القيم الممكنة لـ $p$ و $q$، وهو أن $b$ يجب أن تكون أكبر من أو تساوي $X$، لذا يجب أن تتوافق القيم الممكنة لـ $p$ و $q$ مع هذا الشرط.

لحساب عدد الأزواج المرتبة $(a، b)$ التي تحقق هذا الشرط، نقوم بحساب جميع الأزواج الممكنة لـ $(p، q)$ ونتحقق مما إذا كانت قيمة $b$ أكبر من أو تساوي $X$.

من المعادلة $pq = b$، نعرف أن $b$ هي المنتج لـ $p$ و $q$، ونحن بحاجة إلى اختيار جميع الأزواج $(p، q)$ التي يكون فيها المنتج أكبر من أو يساوي $X$.

نضع $p$ كأصغر قيمة بين $p$ و $q$، ونضع $q$ كأكبر قيمة. إذا كان $p$ يتغير بين $-100$ و $100$، فإن $q$ يمكن أن يتغير بين $-100$ و $100$ أيضًا. بالتالي، هناك مجموعة من القيم الممكنة لـ $(p، q)$.

الآن، يمكننا ببساطة حساب عدد الأزواج الممكنة $(p، q)$ التي تحقق الشرط $pq \geq X$، ومن ثم حساب عدد الأزواج المرتبة $(a، b)$ بناءً على العلاقات السابقة.

للحصول على القيمة الصحيحة لـ $X$، نستخدم العدد الذي أعلن عنه السؤال، الذي هو 2600. فنقوم بحساب جميع الأزواج الممكنة $(p، q)$ التي تحقق الشرط $pq \geq 2600$ ومن ثم نحسب عدد الأزواج المرتبة $(a، b)$.

سنقوم الآن بحساب عدد الأزواج الممكنة $(p، q)$ حيث $pq \geq 2600$، ومن ثم حساب عدد الأزواج المرتبة $(a، b)$.

لنقم بحساب الأزواج $(p، q)$ التي تحقق الشرط $pq \geq 2600$:

• إذا كانت $p = 1$، فإن أقل قيمة يمك

لحل المسألة، نحتاج إلى استخدام القوانين والمفاهيم الرياضية المتعلقة بالعوامل والأعداد الصحيحة. سنقوم بتوضيح الخطوات التي نحتاج إليها لحساب القيمة المطلوبة للمتغير $X$.

1. تفكيك المعادلة التربيعية:
   المعادلة التربيعية $x^2 + ax + b$ يمكن تفكيكها إلى حاصل ضربين خطيين بصورة $(x + p)(x + q)$ حيث $p$ و $q$ هما جذور المعادلة.
   لذا، يتم تمثيل المعادلة التربيعية على النحو التالي:
   $x^2 + ax + b = (x + p)(x + q)$

2. العلاقات بين المعاملات:
   من المعادلة السابقة، نعرف أن:
   $p + q = a$
   $pq = b$

3. التحقق من القيم الممكنة لـ $b$:
   نحتاج إلى التحقق من القيم الممكنة للمتغير $b$، والتي يمكن أن تتكون كناتج لضرب الأعداد $p$ و $q$.

4. التحقق من القيم الممكنة لـ $a$ و $b$:
   يتم التحقق من القيم الممكنة لـ $a$ و $b$ بالاعتماد على الشروط المحددة في المسألة.

5. البحث عن الأزواج $(p، q)$:
   يتم البحث عن جميع الأزواج الممكنة من الأعداد الصحيحة $(p، q)$ والتي تحقق المعادلات المذكورة أعلاه.

6. العد النهائي للأزواج المرتبة $(a، b)$:
   يتم حساب العد النهائي لجميع الأزواج الممكنة $(a، b)$ التي تحقق الشروط المحددة في المسألة.

باستخدام هذه الخطوات، يمكننا حساب القيمة المطلوبة للمتغير $X$ بدقة.

ستقوم الخطوات السابقة بتوجيه الحل بطريقة مدروسة ومنظمة، وسيتطلب الأمر بعض الحسابات والتفكير الرياضي للتأكد من تطبيق القوانين الصحيحة والوصول إلى الإجابة الصحيحة.