حل مسألة: تعريف تعبير الجذر (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية هي: ما هو مجموعة القيم التي تجعل التعبير $\frac{\sqrt{x-2}}{\sqrt{5-x}}$ معرفًا؟

لحل هذه المسألة، نحتاج إلى مراجعة الشروط التي تجعل المعادلة معرفة، وهي كالتالي:

1. المقام لا يجب أن يساوي الصفر.
2. يجب أن يكون العدد تحت الجذر (المقام) أكبر من أو يساوي الصفر.

بناءً على هذه الشروط، لنحل المسألة:

1. الشرط الأول: المقام لا يجب أن يساوي الصفر، وهو $\sqrt{5-x}$.
   يعني ذلك أن $5 – x \neq 0$.
   من هنا نجد أن $x \neq 5$.

2. الشرط الثاني: العدد تحت الجذر (المقام) يجب أن يكون أكبر من أو يساوي الصفر، وهو $5 – x$ و $x – 2$.
   يعني ذلك أن $5 – x \geq 0$ و $x – 2 \geq 0$.
   لحل هذه الحالات، نجد القيم المسموح بها لكل منها:

   • لحالة $5 – x \geq 0$، نحصل على $x \leq 5$.
   • لحالة $x – 2 \geq 0$، نحصل على $x \geq 2$.

باختصار، يجب أن تتوافر الشروط التالية معًا لكي يكون التعبير معرفًا:

1. $x \neq 5$.
2. $x \leq 5$ و $x \geq 2$.

وبالتالي، مجموعة القيم التي تجعل التعبير $\frac{\sqrt{x-2}}{\sqrt{5-x}}$ معرفًا هي جميع القيم التي تقع في النطاق $2 \leq x < 5$.

لحل مسألة تحديد مجموعة القيم التي تجعل التعبير $\frac{\sqrt{x-2}}{\sqrt{5-x}}$ معرفًا، نستخدم مجموعة من القوانين والشروط الرياضية. سنقوم بتفصيل هذا الحل بالترتيب وباستخدام القوانين التالية:

1. شرط عدم تعريف المقام:
   في التعبير $\frac{\sqrt{x-2}}{\sqrt{5-x}}$، يجب أن لا يكون المقام مساويًا للصفر، لأنه في هذه الحالة سيكون لدينا قسمة على صفر، وهو غير معرف. لذا، نحن بحاجة إلى استبعاد القيم التي تجعل المقام يساوي الصفر.

2. شروط الجذور:
   يجب أن يكون العدد تحت الجذر (المقام) أكبر من أو يساوي الصفر، لأننا لا يمكن أن نأخذ جذرًا من عدد سالب. لذا، سنحتاج أيضًا إلى حل المعادلات التي تضم شروط الجذور.

لحل المسألة بشكل مفصل:

أولاً، نحدد شروط الجذور:

• العدد تحت الجذر الأول: $x – 2 \geq 0$، ومن ذلك $x \geq 2$.
• العدد تحت الجذر الثاني: $5 – x \geq 0$، ومن ذلك $x \leq 5$.

ثانيًا، نستبعد القيم التي تجعل المقام يساوي الصفر:

• المقام: $\sqrt{5-x} \neq 0$، وبالتالي $5 – x \neq 0$، ومن ذلك $x \neq 5$.

بعد تحديد شروط الجذور وشرط عدم تعريف المقام، نرى أن المجموعة المطلوبة من القيم تكون كالتالي:

• $2 \leq x < 5$ (من شروط الجذور).
• $x \neq 5$ (شرط عدم تعريف المقام).

لذا، مجموعة القيم التي تجعل التعبير $\frac{\sqrt{x-2}}{\sqrt{5-x}}$ معرفًا هي كل القيم في النطاق $2 \leq x < 5$ مع استبعاد قيمة $x = 5$.

تمثل هذه العملية استخدام قوانين الجذور والشروط المتعلقة بتعريف المقام في الكسور. باستخدام هذه القوانين والشروط، يمكننا تحديد مجموعة القيم التي تجعل التعبير معرفًا بشكل دقيق.