حل مسألة: تسلسل حسابي ومجموع عناصره (مسألة رياضيات)

إذا كان مجموع العنصر الثاني والرابع في تسلسل حسابي هو $6$، فما هو العنصر الثالث؟

لنفترض أن العناصر في التسلسل الحسابي تتبع النمط التالي: $a, b, c, d, …$

حيث $a$ هو العنصر الأول، $b$ هو العنصر الثاني، $c$ هو العنصر الثالث، و $d$ هو العنصر الرابع.

يعطينا الشرط أن $b + d = 6$.

نعلم أيضًا أن التسلسل الحسابي يتبع القاعدة التالية: $b = a + (1) * d$ و $c = b + (1) * d$.

ومن خلال هذه المعادلات، يمكننا استنتاج أن $c = a + (2) * d$.

الآن لدينا معادلتان: $b + d = 6$ و $c = a + (2) * d$.

نحتاج إلى معادلة ثالثة لحل المشكلة. نعلم أن العناصر في تسلسل حسابي يمكن تعبئتها بالنمط التالي: $a, a + d, a + 2d, a + 3d, …$.

وبالتالي، يمكننا كتابة $b = a + d$ و $c = a + 2d$.

الآن لدينا نظام من ثلاث معادلات:

1. $b + d = 6$
2. $c = a + 2d$
3. $b = a + d$

نستطيع حل هذا النظام للعثور على قيم $a$ و $d$.

من المعادلة (3)، نعرف أن $a = b – d$.

ومن المعادلة (2)، نعرف أن $c = (b – d) + 2d$.

ومن المعادلة (1)، نعرف أن $b = 6 – d$.

والآن سنقوم بتعويض $b$ و $c$ في المعادلة الثانية:

$c = (6 – d) – d + 2d$

الآن نستطيع حل المعادلة للعثور على $c$، ومن ثم نحسب القيمة الناتجة.

لحل المسألة، سنستخدم القوانين والمفاهيم التالية:

1. تسلسل حسابي (Arithmetic Sequence): تسلسل يتميز بفرق ثابت بين كل عنصرين متتاليين. إذا كان العنصر الأول في التسلسل هو $a$ والفرق بين العناصر هو $d$، فإن العناصر الأخرى يمكن تمثيلها على النحو التالي: $a, a + d, a + 2d, a + 3d, \ldots$.

2. مجموع عناصر التسلسل: لتحديد مجموع عناصر التسلسل، يمكن استخدام الصيغة التالية: $S_n = \frac{n}{2}(a + l)$ حيث $S_n$ هو مجموع أول $n$ عناصر في التسلسل، $a$ هو العنصر الأول، و $l$ هو العنصر الأخير.

3. معادلات العلاقات بين العناصر في التسلسل: يمكن استخدام علاقات بين العناصر في التسلسل لحل المسألة، مثل $b = a + d$ و $c = b + d$.

الآن، سنقوم بتطبيق هذه المفاهيم على المسألة:

المسألة تعطينا أن $b + d = 6$ حيث $b$ هو العنصر الثاني و $d$ هو الفرق بين العناصر.

لكن من المعادلات العلاقية في التسلسل الحسابي، نعلم أيضاً أن $b = a + d$ و $c = b + d$.

لذا يمكننا تعبئة $b$ و $c$ بالشكل التالي: $b = a + d$ و $c = a + 2d$.

الآن لدينا نظام من المعادلات:

1. $b + d = 6$
2. $c = a + 2d$
3. $b = a + d$

نستطيع حل هذا النظام للعثور على قيم $a$ و $d$.

من المعادلة (3)، نعرف أن $a = b – d$.

ومن المعادلة (2)، نعرف أن $c = (b – d) + 2d$.

ومن المعادلة (1)، نعرف أن $b = 6 – d$.

والآن سنقوم بتعويض $b$ و $c$ في المعادلة الثانية:

$c = (6 – d) – d + 2d$

الآن نستطيع حل المعادلة للعثور على $c$، ومن ثم نحسب القيمة الناتجة.