حل مسألة: تسلسل حسابي والعناصر (مسألة رياضيات)

التسلسل الحسابي يبدأ بالعدد 5 والعدد الثالث فيه هو 29، ما هو قيمة العدد الخمسين في هذا التسلسل؟

لحل هذه المسألة، نحتاج إلى استخدام صيغة التسلسل الحسابي، التي تأخذ الشكل التالي:

$a_n = a_1 + (n – 1) \cdot d$

حيث $a_n$ هو العنصر الذي نريد حساب قيمته، $a_1$ هو العنصر الأول في التسلسل، $n$ هو المرتبة التي نبحث عن قيمتها، و $d$ هو الفرق بين كل عنصرين متتاليين في التسلسل.

من المعطيات، نعرف أن $a_1 = 5$ و $a_{13} = 29$، ونريد حساب قيمة $a_{50}$.

نستخدم العلاقة التالية لحساب الفرق $d$ بين كل عنصرين متتاليين:

$a_{n} = a_{1} + (n – 1) \cdot d$

$29 = 5 + (13 – 1) \cdot d$

$29 = 5 + 12d$

$24 = 12d$

$d = 2$

الآن بمعرفة قيمة $d$، يمكننا حساب قيمة العنصر الخمسين باستخدام العلاقة:

$a_{50} = a_{1} + (50 – 1) \cdot d$

$a_{50} = 5 + (50 – 1) \cdot 2$

$a_{50} = 5 + 49 \cdot 2$

$a_{50} = 5 + 98$

$a_{50} = 103$

إذاً، قيمة العنصر الخمسين في التسلسل الحسابي هي 103.

لحل المسألة المعطاة، نستخدم مفهوم التسلسل الحسابي والعلاقات الرياضية المتعلقة به. في هذه المسألة، يتم تطبيق القوانين التالية:

1. صيغة التسلسل الحسابي: الصيغة العامة للتسلسل الحسابي تأخذ الشكل التالي:
   $a_n = a_1 + (n – 1) \cdot d$
   حيث $a_n$ هو العنصر الذي نريد حساب قيمته، $a_1$ هو العنصر الأول في التسلسل، $n$ هو المرتبة التي نبحث عن قيمتها، و $d$ هو الفرق بين كل عنصرين متتاليين في التسلسل.

2. تطبيق الصيغة على البيانات المعطاة: نستخدم البيانات المعطاة في المسألة لتحديد العناصر الأول والثالث في التسلسل، ثم نستخدم هذه القيم لحساب قيمة الفرق $d$ بين العناصر.

3. حساب العنصر المطلوب: بعد حساب قيمة الفرق $d$، نستخدمها لحساب العنصر الذي نبحث عنه في التسلسل.

الآن، نقوم بتطبيق هذه القوانين على المسألة المعطاة:

1. نعطى أن العنصر الأول $a_1$ هو 5 والعنصر الثالث $a_3$ هو 29.
2. نستخدم العلاقة التالية لحساب الفرق $d$ بين كل عنصرين متتاليين في التسلسل:
   $a_{n} = a_{1} + (n – 1) \cdot d$
   نقوم بحساب قيمة $d$ باستخدام العناصر $a_1$ و $a_3$:
   $29 = 5 + (3 – 1) \cdot d$
   $29 = 5 + 2d$
   $24 = 2d$
   $d = 12$
3. بعد أن حصلنا على قيمة $d$، نستخدمها لحساب العنصر الخمسين $a_{50}$:
   $a_{50} = a_{1} + (50 – 1) \cdot d$
   $a_{50} = 5 + (50 – 1) \cdot 12$
   $a_{50} = 5 + 49 \cdot 12$
   $a_{50} = 5 + 588$
   $a_{50} = 593$

بالتالي، قيمة العنصر الخمسين في التسلسل الحسابي هي 593.