حل مسألة تسلسل حسابي: قيمة X (مسألة رياضيات)

ثلاثة مصطلحات أولية في تسلسل حسابي هي 1، X، و 19. قيمة المصطلح الحادي والعشرين في التسلسل هي 181. ما هي قيمة المتغير المجهول X؟

الحل:
لنستخدم الصيغة العامة لتسلسل حسابي لحساب القيمة المجهولة لـ X:
$a_n = a_1 + (n – 1) \times d$

حيث:

• $a_n$ هو المصطلح العام (المصطلح الذي نريد حسابه)
• $a_1$ هو المصطلح الأول في التسلسل
• $n$ هو الموقع (الموقع الذي نريد حساب مصطلحه)
• $d$ هو الفرق الثابت بين المصطلحات المتتالية في التسلسل

بما أن القيم المعطاة لدينا هي 1، X، و 19، فإننا نعرف أن:

• $a_1 = 1$
• $a_3 = 19$

نعرف أيضًا أن قيمة المصطلح الحادي والعشرين ($a_{21}$) هي 181.

لذلك، لنقوم بتحديد قيمة $d$ أولاً باستخدام العلاقة بين المصطلحات المتتالية:
$d = a_3 – a_1 = 19 – 1 = 18$

الآن، لنستخدم الصيغة العامة لحساب قيمة المصطلح الأول:
$a_1 = a_{21} – (21 – 1) \times d$
$1 = 181 – 20 \times 18$
$1 = 181 – 360$
$1 = -179$

لكن هذا لا يعقل، لذا نعلم أن هناك خطأ في الحساب. الخطأ يكمن في استخدام عدد سلبي للمصطلح الأول ($a_1$). ولذلك، يجب علينا أن نقوم بتحديد قيمة $a_1$ بشكل صحيح.

نستخدم الصيغة العامة مرة أخرى لحساب قيمة $a_1$:
$a_1 = a_3 – (3 – 1) \times d$
$1 = 19 – 2 \times 18$
$1 = 19 – 36$
$1 = -17$

نظرًا لأن هذا النتيجة غير منطقية أيضًا، فإن الخطأ هنا هو في حساب القيم. إذاً، نعلم أن قيمة X لا يمكن أن تكون سالبة.

لحل هذا، يجب علينا استخدام العلاقة الصحيحة للعثور على $a_1$ ومن ثم استخدامها لحساب X.

نستخدم العلاقة الصحيحة:
$a_1 = a_{21} – (21 – 1) \times d$
$1 = 181 – 20 \times 18$
$1 = 181 – 360$
$1 = -179$

وهذا ليس صحيحا.

الخطوة الأولى لتصحيح الخطأ هي حساب الفرق بين المصطلحات ($d$). نعرف من البيانات المعطاة أن:
$d = a_3 – a_2 = 19 – X$

الآن، لنحسب قيمة $d$:
$d = 19 – X$

ثم، نستخدم الصيغة لحساب $a_1$ مرة أخرى:
$a_1 = a_3 – (3 – 1) \times d$
$1 = 19 – 2d$
$1 = 19 – 2(19 – X)$
$1 = 19 – 38 + 2X$
$1 = -19 + 2X$
$20 = 2X$
$X = 10$

إذاً، قيمة المتغير المجهول X هي 10.

في هذه المسألة، نحن معروفون بتسلسل حسابي، والذي يتميز بزيادة ثابتة بين كل مصطلحين متتاليين. القوانين التي نعتمد عليها لحل مثل هذه المسائل هي:

1. صيغة تسلسل حسابي: الصيغة العامة لتسلسل حسابي هي $a_n = a_1 + (n – 1) \times d$ حيث $a_n$ هو المصطلح العام (المصطلح الذي نريد حسابه)، $a_1$ هو المصطلح الأول في التسلسل، $n$ هو الموقع (الموقع الذي نريد حساب مصطلحه)، و $d$ هو الفرق الثابت بين المصطلحات المتتالية في التسلسل.

2. العلاقة بين المصطلحات المتتالية: الفرق بين المصطلحات المتتالية في تسلسل حسابي يكون ثابتًا. بمعنى آخر، $d$ هو الفرق بين أي مصطلحين متتاليين في التسلسل.

3. استخدام المعطيات المتاحة: في هذه المسألة، لدينا معلومات عن قيم المصطلحات الأولى والثالثة ($a_1$ و $a_3$) وكذلك قيمة المصطلح الحادي والعشرين ($a_{21}$).

لحل المسألة، نستخدم العلاقة الأساسية للتسلسل الحسابي مع المعطيات المعروفة والمعادلات الرياضية الأساسية لحساب القيم المجهولة.

الخطوات الرئيسية لحل المسألة هي:

1. تحديد قيمة الفرق ($d$) بين المصطلحات المتتالية في التسلسل.
2. استخدام القيم المعروفة لحساب قيمة المصطلح الأول ($a_1$).
3. حساب قيمة المتغير المجهول ($X$) باستخدام القيم المعروفة والمعادلات الرياضية.

باستخدام هذه الخطوات والقوانين المذكورة، نستطيع حل المسألة بدقة وفهم.