حل مسألة: تركيب دوال رياضية (مسألة رياضيات)

التعبير الأول: $f(g(x))$
$f(g(x)) = f(x – 1) = \frac{3(x-1)^2 + 5(x-1) + 8}{(x-1)^2 – (x-1) + 4}$

$= \frac{3(x^2 – 2x + 1) + 5x – 5 + 8}{x^2 – 2x + 1 – x + 1 + 4}$

$= \frac{3x^2 – 6x + 3 + 5x – 5 + 8}{x^2 – 2x + 1 – x + 1 + 4}$

$= \frac{3x^2 – x + 6}{x^2 – 3x + 6}$

التعبير الثاني: $g(f(x))$
$g(f(x)) = g\left(\frac{3x^2+5x+8}{x^2-x+4}\right) = \frac{3x^2+5x+8}{x^2-x+4} – 1$

الآن، نحتاج إلى حساب $f(g(x)) + g(f(x))$ عند $x = 1$ ، فلنقم بذلك:

لنحسب $f(g(1))$ أولاً:
$f(g(1)) = f(1 – 1) = f(0)$

وبما أن $f(0)$ في المقام الأول يعني إدخال 0 في $f(x)$، يمكننا حسابه بالتبديل مباشرة،
$f(0) = \frac{3(0)^2 + 5(0) + 8}{(0)^2 – (0) + 4} = \frac{8}{4} = 2$

الآن، لنحسب $g(f(1))$:
$g(f(1)) = g\left(\frac{3(1)^2+5(1)+8}{(1)^2-(1)+4}\right) = g\left(\frac{3 + 5 + 8}{1 – 1 + 4}\right) = g\left(\frac{16}{4}\right) = g(4)$

وهنا نستخدم $g(x) = x – 1$،
$g(4) = 4 – 1 = 3$

الآن، نضيف النتائج معًا:
$f(g(1)) + g(f(1)) = 2 + 3 = 5$

لذلك، قيمة التعبير $f(g(x)) + g(f(x))$ عند $x = 1$ هي 5.

لحل المسألة المعطاة وإيجاد قيمة التعبير $f(g(x)) + g(f(x))$ عند $x = 1$، سنقوم بتطبيق القوانين الأساسية للجبر والتحليل الرياضي.

القوانين المستخدمة:

1. قانون استبدال القيمة: يسمح لنا هذا القانون بتبديل قيمة متغير بقيمتها المعادلة في التعبيرات الأخرى.

2. قواعد الجمع والطرح والضرب والقسمة للكسور الجبرية: يمكننا تطبيق هذه القواعد على الكسور الجبرية لتبسيطها وإيجاد قيمها.

الآن، سنقوم بحساب $f(g(x))$ و $g(f(x))$ ومن ثم جمع النتائج.

1. حساب $f(g(x))$:
   نبدأ بتطبيق دالة $g(x)$ على $x$، وهي $g(x) = x – 1$، لنحصل على $g(1)$ حيث $x = 1$:
   $g(1) = 1 – 1 = 0$
   الآن، نستخدم قيمة $g(1)$ لحساب $f(g(x))$:
   $f(g(x)) = f(0)$
   الآن نحسب قيمة $f(0)$، وهي:
   $f(0) = \frac{3(0)^2 + 5(0) + 8}{(0)^2 – (0) + 4} = \frac{8}{4} = 2$

2. حساب $g(f(x))$:
   نبدأ بتطبيق دالة $f(x)$ على $x$، وهي $f(x) = \frac{3x^2+5x+8}{x^2-x+4}$، لنحصل على $f(1)$ حيث $x = 1$:
   $f(1) = \frac{3(1)^2 + 5(1) + 8}{(1)^2 – (1) + 4} = \frac{3 + 5 + 8}{1 – 1 + 4} = \frac{16}{4} = 4$
   الآن، نستخدم قيمة $f(1)$ لحساب $g(f(x))$:
   $g(f(x)) = g(4)$
   وباستخدام $g(x) = x – 1$:
   $g(4) = 4 – 1 = 3$

الآن، نجمع $f(g(1))$ و $g(f(1))$ معًا:
$f(g(1)) + g(f(1)) = 2 + 3 = 5$

إذاً، قيمة التعبير $f(g(x)) + g(f(x))$ عند $x = 1$ هي 5.

تم استخدام القوانين الجبرية الأساسية وتطبيقها على التعابير الرياضية للوصول إلى الحل النهائي.