حل مسألة: تحديد أعداد صحيحة إيجابية (مسألة رياضيات)

لحساب عدد الأعداد الصحيحة الإيجابية $n$ التي تحقق العدمية $(n + 8)(n – 3)(n-12) < 0$، نحتاج إلى فهم كيفية تصرف الدالة في المناطق المختلفة.

نلاحظ أن الناتج يكون سالب إذا كان عدد العوامل السالبة فرديًا. بمعنى آخر، إذا كان لدينا عدد فردي من الأعداد السالبة في العبارة، فإن الناتج سيكون سالبًا.

لحل هذه المعادلة، نبحث عن النقاط التي تتغير فيها علامة العبارة $(n + 8)(n – 3)(n-12)$، وهي نقاط الانقلاب. وتحديدًا، نبحث عن الأماكن التي تساوي العبارة صفرًا، لأن هذه النقاط تفصل المجالات التي يكون فيها الناتج سالبًا عن المجالات التي يكون فيها إيجابيًا.

لذا، نقوم بحساب النقاط التي تجعل العبارة تساوي الصفر:

بعد ذلك، نقوم بتجريب القيم بين النقاط التي حددناها على العبارة لنعرف متى تكون إيجابية ومتى تكون سالبة.

1. ل $n < -8$: نختار قيمة $n$ أقل من -8، مثلاً $n = -9$:

الناتج إيجابي.

2. ل $-8 < n < 3$: نختار قيمة $n$ بين -8 و 3، مثلاً $n = 0$:

الناتج سالب.

3. ل $3 < n < 12$: نختار قيمة $n$ بين 3 و 12، مثلاً $n = 5$:

الناتج سالب.

4. ل $n > 12$: نختار قيمة $n$ أكبر من 12، مثلاً $n = 15$:

الناتج إيجابي.

إذاً، نحن بحاجة إلى الأعداد بين -8 و 3، بما في ذلك الأعداد -7، -6، -5، -4، -3، 2، 1.
عدد الأعداد الإيجابية المطلوبة هو 7.

لحل المسألة واضحة، ولكن دعوني أوضح الخطوات بتفصيل أكثر وأشير إلى القوانين التي تم استخدامها.

المسألة تطلب حل العبارة التالية:

نحن بحاجة إلى معرفة القيم التي يمكن أن تجعل العبارة أقل من صفر. لتحقيق هذا، نحتاج إلى معرفة النقاط التي يتغير فيها علامة العبارة.

القوانين المستخدمة في الحل:

1. قانون الضرب:
   يقول هذا القانون إذا كانت الناتج من ضرب أعداد زوجية من الأعداد سالبة فإن الناتج يكون موجبًا، وإذا كان عدد الأعداد السالبة فرديًا فإن الناتج يكون سالبًا.

2. قانون العدد السالب:
   يحدد هذا القانون أن ضرب عددين سالبين يعطي ناتج موجب، بينما ضرب عدد سالب وعدد موجب يعطي ناتج سالب.

3. قانون التغيّر في علامة العبارة:
   إذا تغيرت علامة العبارة من إيجابية إلى سالبة أو العكس عند تجاوز نقطة معينة، فإن هذه النقطة تعتبر نقطة تغيّر.

الآن، دعونا نقوم بحساب النقاط التي يتغير فيها علامة العبارة:

1. $n + 8 = 0$ يعطي $n = -8$.
2. $n – 3 = 0$ يعطي $n = 3$.
3. $n – 12 = 0$ يعطي $n = 12$.

الآن، لنقم بتجريب قيم $n$ في كل منطقة بين هذه النقاط لمعرفة علامة العبارة في كل منطقة.

• ل $n < -8$، نأخذ $n = -9$، ونحصل على ناتج إيجابي.
• ل $-8 < n < 3$، نأخذ $n = 0$، ونحصل على ناتج سالب.
• ل $3 < n < 12$، نأخذ $n = 5$، ونحصل على ناتج سالب.
• ل $n > 12$، نأخذ $n = 15$، ونحصل على ناتج إيجابي.

بالتالي، الأعداد الصحيحة $n$ التي تحقق العبارة $(n + 8)(n – 3)(n – 12) < 0$ هي الأعداد بين -8 و 3، بما في ذلك -7، -6، -5، -4، -3، 2، 1. إجمالا، عدد الأعداد الإيجابية المطلوبة هو 7.