حل مسألة: تتابع هندسي والعناصر المجهولة (مسألة رياضيات)

السبعة والعشرون عنصراً من تتابع هندسي هم $7$ و X على التوالي. ما هو العنصر الثالث عشر في هذا التتابع؟
إذا كنا نعلم أن الجواب على السؤال السابق هو 63، فما قيمة المتغير المجهول X؟

لنقم بحساب النسبة الثابتة للتتابع الهندسي باستخدام العنصر العاشر والعنصر السابع:

$r = \sqrt[10-7]{\frac{X}{7}} = \sqrt[3]{\frac{X}{7}}$

نعرف أن العنصر الثالث عشر هو العنصر السابع مضروبًا في $r^6$، حيث $r$ هو النسبة الثابتة.

لذلك، يمكننا كتابة العنصر الثالث عشر كالتالي:

$a_{13} = 7 \times r^6$

من السؤال، نعلم أن $a_{13} = 63$، لذا:

$7 \times r^6 = 63$

ومنها نحصل على قيمة $r$ عن طريق حل المعادلة:

$r^6 = \frac{63}{7} = 9$

$r = \sqrt[6]{9} = 3$

الآن بمعرفة قيمة $r$، يمكننا حساب قيمة X باستخدام العنصر العاشر:

$X = 7 \times r^{10-7} = 7 \times 3^3 = 7 \times 27 = 189$

لذا، القيمة المجهولة X هي 189.

الآن، لحساب العنصر الثالث عشر، نستخدم العنصر السابع (الذي هو 7) ونضربه في $r^6$:

$a_{13} = 7 \times 3^6 = 7 \times 729 = 5103$

لذا، العنصر الثالث عشر في التتابع هو 5103.

لحل المسألة المذكورة، استخدمنا العديد من الخطوات والقوانين المتعلقة بالتتابعات الهندسية. إليك تفاصيل أكثر عن الحل:

1. تعريف التتابع الهندسي: في التتابع الهندسي، تتغير الأعداد بنسبة ثابتة. تبدأ التسلسل بعدد أولي $a$ وتكون النسبة بين كل عنصرين متساوية وتسمى النسبة الثابتة $r$.

2. حساب النسبة الثابتة $r$: في هذه المسألة، تم استخدام العنصر السابع والعاشر لحساب النسبة الثابتة $r$ باستخدام العلاقة التالية:
   $r = \sqrt[10-7]{\frac{X}{7}}$

3. حساب العنصر الثالث عشر: بعد حساب قيمة $r$ والعنصر السابع، يمكن حساب العنصر الثالث عشر باستخدام العلاقة:
   $a_{13} = 7 \times r^6$

4. حل المعادلة للحصول على $r$: تم حل المعادلة $7 \times r^6 = 63$ للحصول على قيمة $r$.

5. حساب قيمة X: بعد الحصول على $r$، تم حساب قيمة X باستخدام العلاقة:
   $X = 7 \times r^{10-7}$

6. حساب العنصر الثالث عشر بشكل نهائي: بعد الحصول على $X$ والعنصر السابع، تم استخدام العلاقة $a_{13} = 7 \times r^6$ لحساب العنصر الثالث عشر.

بهذه الطريقة، تم حل المسألة باستخدام القوانين الأساسية للتتابعات الهندسية وتطبيق العلاقات الرياضية المتعلقة بها للحصول على الحل النهائي.