حل مسألة الوسيط والمتوسط الحسابي (مسألة رياضيات)

متوسط مجموعة الأعداد ${87، 85، 80، 83، 84، x}$ يساوي X. ما هو الوسيط للمجموعة المكونة من ستة أعداد؟ قم بالتعبير عن إجابتك بالعدد العشري إلى أقرب عشرة. إذا كنا نعرف أن الإجابة على السؤال أعلاه هي 83.5، فما هي قيمة المتغير المجهول X؟

المجموعة المعطاة: ${87، 85، 80، 83، 84، x}$

المتوسط الحسابي لمجموعة الأعداد هو مجموع الأعداد مقسوما على عددها. لذا، يمكننا كتابة المعادلة التالية للعثور على المتوسط:

لكن لدينا معلومة مسبقة أن المتوسط الحسابي X يساوي 83.5، لذا يمكننا كتابة المعادلة التالية:

لحل هذه المعادلة، يمكننا ضرب العددين 83.5 و 6 للتخلص من المقام. وسنحصل على مجموع الأعداد:

الآن، يمكننا حساب قيمة المتغير المجهول X عن طريق طرح مجموع الأعداد المعروفة من الجمع الكلي:

لحل هذه المعادلة، يمكننا طرح 419 من الجانبين:

لذا، القيمة المجهولة X هي 82.

الآن، بعد أن حللنا المسألة ووجدنا قيمة المتغير المجهول X، يمكننا الآن التركيز على حساب الوسيط للمجموعة المكونة من ستة أعداد.

لحساب الوسيط، يجب ترتيب الأعداد بترتيب تصاعدي، ثم اختيار العدد الوسيط، والذي يكون العدد الأوسط في حالة وجود عدد فردي من الأعداد، وفي حالة وجود عدد زوجي من الأعداد، يكون الوسيط هو متوسط العددين الوسطيين.

لذا، بعد ترتيب الأعداد بترتيب تصاعدي:
$80, 83, 84, 85, 87, 82$
الوسيط هو العدد الوسيط، أي العدد الثالث، لأن عدد الأعداد فردي. وهو يساوي 84.

لحل المسألة وإيجاد قيمة المتغير المجهول X وحساب الوسيط للمجموعة، نحتاج إلى استخدام بعض القوانين الرياضية والمفاهيم الأساسية لحساب المتوسط والوسيط.

1. المتوسط الحسابي (Mean):
   المتوسط الحسابي يُحسب بجمع جميع الأعداد في المجموعة ثم قسمتها على عددها. لذا، إذا كانت المجموعة تحتوي على $n$ أعداد، فإن المتوسط يُعبَّر عنه بالصيغة التالية:

   $$\text{Mean} = \frac{\text{Sum of all numbers}}{\text{Number of numbers}}$$

2. الوسيط (Median):
   الوسيط هو القيمة الوسطية للبيانات المرتبة بترتيب تصاعدي أو تنازلي. إذا كان عدد الأعداد في المجموعة فرديًا، فإن الوسيط يكون العدد الأوسط، أما إذا كان العدد زوجيًا، فإن الوسيط يكون متوسط العددين الوسطيين.

بناءً على هذه القوانين، نستخدمها في حل المسألة كالتالي:

أولاً، نستخدم مفهوم المتوسط الحسابي لإيجاد قيمة المتغير المجهول X. نعرف أن المتوسط الحسابي للمجموعة هو 83.5، لذا نستخدم هذه المعلومة لوضع المعادلة:

ثم، نستخدم قانون الوسيط لحساب القيمة المطلوبة. نقوم بترتيب الأعداد بترتيب تصاعدي ونحسب الوسيط.

بعد ذلك، نحل المعادلة للعثور على قيمة المتغير المجهول X، ونحسب الوسيط باستخدام الترتيب المناسب للأعداد.

بهذه الطريقة، يمكننا الوصول إلى الإجابة بشكل دقيق ومفصل، والتي توضح كيفية استخدام القوانين الرياضية والمفاهيم لحل المسألة بطريقة صحيحة ومنطقية.