حل مسألة الوسيط الحسابي: النقطة الوسيطية (مسألة رياضيات)

نعطي أن نقطة $M(2,5)$ هي نقطة الوسيط للقطعة $\overline{AB}$، وأن النقطة $A(3,1)$ هي نقطة البداية. نريد معرفة إحداثيات النقطة $B$ وإيجاد حاصل ضرب إحداثياتها.

لنستخدم خاصية نقطة الوسيط:
نقطة الوسيط بين نقطتين في الإحداثيات هي متوسط قيم إحداثيات النقطتين. إذا كانت $M$ نقطة الوسيط بين $A$ و $B$، فإن إحداثيات $M$ هي متوسط إحداثيات $A$ و $B$.

لنجد إحداثيات $B$ باستخدام هذه المعلومة.
نقوم بحساب متوسط الإحداثيات بين $A$ و $M$ للعثور على $B$.
الإحداثيات الأفقية لنقطة $M$ هي $2$ ولنقطة $A$ هي $3$، لذا يجب أن تكون إحداثيات $B$ أيضًا $2$ ولكن باتجاه معاكس، وهذا يعني أنها $1$. بالنسبة للإحداثيات الرأسية، فإنها $5$ لـ $M$ و $1$ لـ $A$، لذا يجب أن تكون إحداثيات $B$ أيضًا $5$ ولكن باتجاه معاكس، وهذا يعني أنها $9$.

إذا كانت إحداثيات $B$ هي $(1,9)$، فإن حاصل ضرب إحداثياتها هو:
$1 \times 9 = 9$

لذا، الجواب هو 9.

في هذه المسألة، نستخدم خاصية نقطة الوسيط وقانون متوسط الإحداثيات.

1. خاصية نقطة الوسيط (Midpoint Property):
   إذا كانت $M$ نقطة الوسيط بين نقطتين $A$ و $B$ في الإحداثيات، فإن إحداثيات $M$ هي متوسط إحداثيات $A$ و $B$. بشكل رمزي، إذا كانت $M(x_m, y_m)$ هي نقطة الوسيط بين $A(x_a, y_a)$ و $B(x_b, y_b)$، فإن:
   $x_m = \frac{x_a + x_b}{2}$
   $y_m = \frac{y_a + y_b}{2}$

2. قانون متوسط الإحداثيات (Mean Value Theorem for Coordinates):
   إذا كانت $(x, y)$ إحداثيات نقطة على الخط المستقيم بين نقطتين ذات إحداثيات $(x_1, y_1)$ و $(x_2, y_2)$، فإن إحداثيات النقطة الموجودة في منتصف الخط بين هاتين النقطتين هي متوسط إحداثيات النقطتين. أي:
   $x = \frac{x_1 + x_2}{2}$
   $y = \frac{y_1 + y_2}{2}$

الآن، لنقم بحل المسألة:

نُعطى $M(2,5)$ كنقطة وسيط بين $A(3,1)$ و $B(x_b, y_b)$.

1. نستخدم قانون نقطة الوسيط لوجد $B$:
   $x_m = \frac{x_a + x_b}{2}$
   $y_m = \frac{y_a + y_b}{2}$

   حيث:
   $x_m = 2, \, x_a = 3, \, x_b = x_b$
   $y_m = 5, \, y_a = 1, \, y_b = y_b$

   بالتالي:
   $2 = \frac{3 + x_b}{2} \implies 4 = 3 + x_b \implies x_b = 1$
   $5 = \frac{1 + y_b}{2} \implies 10 = 1 + y_b \implies y_b = 9$

2. الآن، لدينا إحداثيات $B(1,9)$.

3. السؤال يطلب حاصل ضرب إحداثيات $B$، وهو:
   $1 \times 9 = 9$

إذاً، الجواب هو 9.